专题06 函数与导数综合2-十年（ 2012-2021年）高考真题数学（理）解答题分类汇编

专题6(2)、函数与导数综合 《2015年高考》新课标1卷 45.（本小题满分12分） 已知函数f（x）= . (Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线； （Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，设函数 ，讨论h（x）零点的个数. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）当 或 时， 由一个零点；当 或 时， 有两个零点；当 时， 有三个零点. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的 值；（Ⅱ）根据对数函数的图像与性质将 分为 研究 的零点个数，若零点不容易求解，则对 再分类讨论. 试题解析： 【解析】 (Ⅰ)根据已知， ，若 轴为曲线的切线，设切点横坐标为 ，则可得 即 ，解得 所以当 时， 轴为曲线 的切线. （Ⅱ）当 时， ，于是 单调递增，而 ，于是 与 有唯一交点，且交点的横坐标 ，此时函数 的零点个数为1. 当 时， 在 上递减，在 上递增，在 处有极小值为 此时 与 在 内忧唯一交点，函数 的零点个数为1. 当 时，此时极小值为0，函数 的零点个数为2 当 时，此时的极小值小于0，因此函数 的零点个数为3 当 时，此时 与 相交于 ，函数 的零点个数为2 当 时，此时 与 的交点的横坐标大于1，此时函数 的零点个数为1 综上可得，数 的零点个数为： 2015新课标2卷 46．（本题满分12分） 设函数 ． (Ⅰ)证明： 在 单调递减，在 单调递增； （Ⅱ）若对于任意 ，都有 ，求 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ） ． 【解析】 （Ⅰ） 若 ，则当 时， ；当 时， ， 若 ，则当 时， ；当 时， ， 所以， 在 单调递减，在 单调递增 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的 在[-1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故 在 处取得最小值，所以对于任意 的充要条件是 即 ① 设函数 ，则 当 时， ；当 时， ，故 在 单调递减，在 单调递增。 又 ，故当 时， 当 时， ，即①式成立； 当 时，由 的单调性， ，即 ； 当 时， ，即 综上， 的取值范围是[-1,1] 【考点定位】导数的综合应用． 【名师点睛】(Ⅰ)先求导函数 ，根据 的范围讨论导函数在 和 的符号即可；（Ⅱ） 恒成立，等价于 ．由 是两个独立的变量，故可求研究 的值域，由(Ⅰ)可得最小值为 ，最大值可能是 或 ，故只需 ，从而得关于 的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解． 2015北京卷 47.（本小题13分）已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）求证：当 时， ； （Ⅲ）设实数 使得 对 恒成立，求 的最大值． 【答案】（Ⅰ） ，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ） 的最大值为2. 解：（Ⅰ） ， EMBED Equation.DSMT4 又 ， 所以，切线方程为 ，即 ． （Ⅱ） ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 又因为 ，所以 ，所以 在 上是增函数， 又 ，故 ，所以 ． （Ⅲ） ，设 ， ， ， ，函数 是单调递增， 显然成立。 当 时，令 EMBED Equation.DSMT4 ，得 ， — + EMBED Equation.DSMT4 极值 ，显然不成立，由此可知 最大值为2． 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论. 【名师点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题，本题第一步为基础，第二、三步属于中等略偏难问题，首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐标，写出切线方程，其次用作差法构造函数，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，最后一步对参数 进行分类讨论研究. 2015年广东卷 48．（本小题满分14分） 设 ，函数 ． (1) 求 的单调区间 ； (2) 证明： 在 上仅有一个零点； (3) 若曲线 在点 处的切线与 轴平行，且在点 处的切线与直线 平行（ 是坐标原点）,证明： ． EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4