第05课 一元二次方程根与系数的关系-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（人教版）

第05课 一元二次方程根与系数的关系 课程标准 课标解读 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用. 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 知识点01 一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数 为根的一元二次方程是 . (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； (6)利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 当△≥0且时 两根同号 当△≥0且，时 两根同为正数 当△≥0且，时 两根同为负数 当△＞0且时 两根异号 当△＞0且，时 两根异号且正根的绝对值较大 当△＞0且，时 两根异号且负根的绝对值较大 【知识拓展】 （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 考法01 一元二次方程的根与系数的关系 【典例1】已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值． 【分析】 根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【解析】 方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得，，从而解得：，k＝-7． 方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7． 设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得，从而， 故方程的另一根为，k的值为-7． 【点睛】 根据一元二次方程根与系数的关系，易得另一根及k的值． 【即学即练1】已知方程的一个根是3，求它的另一根及的值． 【答案】另一根为-1；的值为-3．　 【典例2】已知关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【解析】 解：（1）△=（m+2）2﹣8m =m2﹣4m+4 =（m﹣2）2， ∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0， ∴△≥0， ∴方程总有实数根； （2）解方程得，x= ， x1= ，x2=1， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1或2，m=2不合题意， ∴m=1． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根． 考法02 一元二次方程的根与系数的关系的综合应用 【典例3】关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____． 【答案】4 【分析】 根据根与系数的关系结合已知条件可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值，进而可得答案． 【详解】 解：∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2， ∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣k， ∵x12+x22=4， ∴（x1+x2）2-2x1x2=4， （2k）2﹣2（k2﹣k）=4， 2k2+2k﹣4=0， k2+k﹣2=0， k=﹣2或1， ∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0， k≥0， ∴k=1， ∴x1•x2=k2﹣k=0， ∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4， 故答案为4． 【点睛】 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式△≥0”是解题的关键． 【即学即练2】设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝_______. 【答案】5 【详解】 试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案． ∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根， ∴m+n=﹣2， ∵m是原方程的根， ∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7， ∴m2+3m