专题10相似多边形及相似三角形的判定-2021-2022学年九年级数学上册课堂讲义（北师大版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 相似多边形及相似三角形的判定 【知识导图】 教学过程 一、导入 【教学建议】 在这一讲知识的学习中，可以对比全等来帮助学生更好的理解成比例线段的知识. 全等的证明我们并不陌生，通过边角关系的应用我们可以使用四种方法来证明两个三角形全等.全等作为相似的一种特殊情况，可以帮助我们更好的理解相似，学习相似. 二、知识讲解 考点1 相似多边形的定义 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 考点2 三角形相似判定定理 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似． 判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定定理3：三边:成比例的两个三角形相似． 考点3 黄金分割 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果 那么称线段AB被点C黄金分割（golden section）,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.其中≈0.618. 三 、例题精析 类型一 判断多边形是否相似 例题1 若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 （ ） A．870 B．600 C．750 D．1200 【解析】A 对应角相等，360°-60°-75°-138°=87°. 【总结与反思】两个多边形相似，他们的对应角相等，对应边成比例. 类型二 相似多边形的应用 例题1 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对 【解析】A 往外扩张相同的距离，即新的边与旧的边是平行的，因此根据平行线的性质，得到对应角相等，且对应边成比例，所以相似. 【总结与反思】 此题考察了多边形相似的应用. 类型三：三角形相似的证明 例题1 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F. 求证：△PFA∽△ABE； 【解析】证明：∵AD∥BC， ∴∠PAF=∠AEB. ∵∠PFA=∠ABE=90∘， ∴△PFA∽△ABE. 【总结与反思】 通过两角对应相等得到相似. 例题2 如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似． 【解析】∵AC=，AD=2， ∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况： （1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有=，∴AB==3； （2）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有=，∴AB==3． 故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似 【总结与反思】两个形似三角形，对应角相等，对应边成比例. 类型四：黄金分割 例题1 若点C是线段AB的分割点（AC＞BC），AB＝16，则AC＝______，BC＝_______；如果D是线段AB的另一个黄金分割点，则CD＝_______。 【解析】，24- ，； 根据黄金分割比是，即可由乘法得到本题答案. 【总结与反思】此类型考察的是黄金分割比使用. 类型五：相似综合 例题1 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）． （1）当t=　　s时，四边形EBFB′为正方形； （2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； （3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF， 即：10﹣t=3t， 解得t=2.5； （2）分两种情况，讨论如下： ①若△EBF∽△FCG， 则有，即， 解得：t=2.8； ②若△EBF∽△GCF， 则有，即， 解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2． ∴当t=2.8s