专项整合练练作业05 立体几何-2021年高一数学暑假作业（人教A版2019）

作业05 立体几何 1．如图，在棱长为 的正方体 中， 点是 的中点． （1）证明： 平面 ; （2）求三棱锥 外接球的表面积． 【解析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，则 为 的中点， 因为 为 的中点，则 ， 平面 ， 平面 ，因此， 平面 ； （2）将三棱锥 补成长方体 ，如下图所示： 则长方体 的体对角线长为 ， 所以，三棱锥 外接球半径为 ，因此，三棱锥 外接球表面积为 . 2．如图，在四棱锥 中， 为正三角形，底面ABCD为直角梯形 ． （1）求证： ； （2）若二面角 的余弦值为 ，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值． 【解析】(1)过点 作 与 交于 点，连接 . 由 ，所以四边形 为矩形. 则 EMBED Equation.DSMT4 ,所以 ,即 为 的中点. 所以 ，又 ,所以 平面 又 ，则 平面 ,又 平面 所以 （2）由（1）可知 , 由（1）可知四边形 为矩形. 则 ,又 所以 为二面角 的平面角. 所以 ,解得 (负值舍去) 所以 由（1）有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 过点 作 交 于点 ，则 平面 所以 设点 到平面 的距离为 . 则 ，即 ,所以 设直线PA与平面PBC所成角为 ，则 3．如图，在正三棱柱 （底面是正三角形的直棱柱）中， 是 的中点． （1）求三棱锥 的体积； （2）求证： 平面 ． 【解析】（1）在正三棱柱 中， 平面 所以三棱锥 以 为底面时，高为 由 是 的中点． (2) 连接 交 于点 ,连接 ，所以 为 的中点. 在 中， 是 的中点， 为 的中点，所以 平面 , 平面 ,所以 平面 . 4．如图所示，在正方体 中，E，F，G，H分别是 的中点．求证： （1） ； （2） 平面 ： （3）平面 平面 ． 【解析】（1）取 中点 ，连接 ， 是 中点， 且 ， ， ， 则四边形 为平行四边形， ， 是 中点， ， 则四边形 为平行四边形， ， ； （2）连接 ，交 于 ，连接 ， ， 为 中点， ， 为 中点， ， ， 四边形 为平行四边形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ； （3）由（1） ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 又正方体中， ，则四边形 为平行四边形， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 平面 平面 . 5．如图，长方体 的体积是24，E为 的中点，平面 将长方体分成三棱锥 和多面体 两部分． （1）若 ，求多面体 的表面积； （2）求三棱锥 的体积． 【解析】（1）因为长方体 的体积是24，E为 的中点， ， 所以 ，则 ，所以 ， 因此 ， ， ， 因此 ， 所以多面体 的表面积为 ； （2）因为在长方体中，侧棱和底面垂直，所以 平面 ； 由（1）可得三棱锥 的体积 . 6．如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ， ， ，点E为棱 的中点． （1）证明：平面 平面 ； （2）求 与平面 所成的角． 【解析】（1） EMBED Equation.DSMT4 底面 ， 平面 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ； （2）取 中点 ，连接 ， 分别是 中点， ，且 ， 又 ，且 ， 且 ， 四边形 为平行四边形， ， 则 与平面 所成的角即为 与平面 所成的角， EMBED Equation.DSMT4 底面 ， 平面 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 平面 ， 取 中点 ，连接 ，则可得 ， 平面 ， 则 即为 与平面 所成的角， ， ， 故 与平面 所成的角为 . 7．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示． （1）求此几何体的表面积； （2）如果点 在直观图中所示位置， 为所在母线中点， 为母线与底面圆的交点，求在几何体表面上，从 点到 点的最短路径长． 【解析】（1）由题设，此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和． 圆锥侧面积 ；圆柱侧面积 ；圆柱底面积 ， ∴几何体表面积为 ． （2）沿 点与 点所在母线剪开圆柱侧面，展开如图． 则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ． ∴ 、 两点间在侧面上的最短路径长为 ． 8．已知直三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ，且侧棱 ． （1）在给定的坐标系中，用斜二测画法画出该三棱柱的直观图（不要求写出画法，但要标上字母，并注意，先用铅笔作出草图，再用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，以保证扫描效果） （2）求该三棱柱 的外接球的表面积． 【解析】（1）如图所示， （2）取直三棱柱上下底面的外心分别为 ，则 的中点 为外接球的球心， EMBED Equation.