章节分解练作业08 立体几何-2021年高一数学暑假作业（人教A版2019）

作业08 立体几何 1．已知正方体 内切球的表面积为 ， 是空间中任意一点： ①若点 在线段 上运动，则始终有 ； ②若 是棱 中点，则直线 与 是相交直线； ③若点 在线段 上运动，三棱锥 体积为定值； ④ 为 中点，过点 ，且与平面 平行的正方体的截面面积为 ; 以上命题为真命题的个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】因为正方体 内切球的表面积为 ， 设内切球的半径为 ，则 ，解得 ， 所以正方体 的棱长为 ， 因为 ,且 , 所以 面 ，因为 面 ， 所以 恒成立，故①是真命题； 由图可知，直线 与 是异面直线，故②是假命题； 由图可知：因为 ，三棱锥 体积等于三棱锥 的体积， 由①知， 面 ，所以 点到面 的距离为 ， 因为动点 到直线 的距离等于1， 所以 的面积等于 ， 所以 ，故棱锥 体积为定值，故③是真命题； 取 中点为 , 中点为 ,连接 ， 因为 ，所以面 面 , 所以过点 ，且与平面 平行的正方体的截面为面 ， 由图可知面 是菱形，其中对角线长为 ， 所以 ，故④是真命题；真命题的个数有3个， 故选：B; 2．在长方体 中，已知棱长 ，体对角线 ，异面直线 与 所成的角为45°，则该长方体的表面积是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【解析】 ∵在长方体 中，异面直线 与 所成的角为45°， ∴ 与 所成的角为45°，即 ，∴ ， ∴ ， ，解得 ， ∴该长方体的表面积是： .故选：C 3．钺（yuè）的本字其实是“戊（yuè）”，是一种斧头．在中国古代，长江流域以南的少数民族都被称为越人，由于民族很杂部落众多，也称“百越”，有学者指出，“越人”的“越”，其含义可能由“戊”而来，意指这些都是一帮拿着斧头的人．此外，“戊（wù）”的本意和“戊”一样，也是指斧头．如图是一把斧子，它的斧头由铁质锻造，它的形状可以近似看做由上下两个多面体组合而成，上部是一个长方体，下部是一个“楔（xie）形”，其尺寸如图标注（单位：cm），已知铁的比重为 ，斧头上用作安装斧柄的洞眼仍看作实心，这只斧头的质量（单位：g）所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题得几何体有一个长方体、一个三棱柱和两个三棱锥组成， 长方体的体积： ； 三棱柱的体积： ； 两个三棱锥的体积： ； 所以几何体的体积为 ， 所以这只斧头的质量为 . 故选：A 4． 是棱长为2的正方体， 分别为 的中点，过 的平面截正方体的截面面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，分析正方体结构可以得知,该截面为一个边长为 的正六边形， 此正六边形分成6个全等的三角形，所以其面积为 . 故选：C. 5．已知 ， 是两条不同直线， ， ， 是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A．若 ， ，则 B．若 ， 且 ， ，则 C．若 ， 且 ，则 D．若 ， ，则 【答案】C 【解析】对A，当 ， 时，则 或 ，故A错误； 对B，由题意根据面面平行的判定得 或 ， 相交，故B错误； 对C，由题意根据线面垂直的性质可知 ，又因为 ，则 成立，故C正确； 对D，当 为墙角三角形的三个面时, , 有 ，故D错误． 故选：C 6．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 为鳖臑， 平面 ， ， ，三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将三棱锥 放在一个长方体中，如图示： 则三棱锥 的外接球就是一个长方体的外接球，因为 ， ， 为直角三角形，所以 . 设长方体的外接球的半径为R，则 ，故 . 所以外接球的表面积为 .故选：B. 7．正方体 的棱长为2， ， ， 分别为 ， ， 的中点，则（ ） A．直线 与直线 垂直 B．平面 截正方体所得的截面面积为 C．三棱锥 的体积为2 D．点 与点G到平面 的距离相等 【答案】BD 【解析】如图： 对于A：因为正方体 的棱长为2， ， ， 分别为 ， ， 的中点，所以 . 假设直线 与直线 垂直，又因为 ,所以 面 ,所以 而 所以 面 . 在正方体中， 面 ,则过A点有两条直线AB、AE与面 垂直，这“过一点有且只有一条直线与已知平面垂直”相矛盾，故A错误； 对于B：连结 因为 ， ，分别为 ， 的中点，所以面 截正方体所得的截面为等腰梯形 , 由正方体边长为2，得： 所以等腰梯形 的高为 ,所以等腰梯形 的面积为 ，故B正确； 对于C：三棱锥 的体积： ,故C错误； 对于D:取 的中点H，连结 ,由已知得： , 面AEF, 面AEF,所以 面AEF；同理可证： 面AEF. 因为 ,所以