作业13　空间几何体及其表面积、体积-2021年高二数学暑假作业（苏教版）

作业13　空间几何体及其表面积、体积-2021年高二数学暑假作业（苏教版） 第I卷（选择题） 一、单选题 1．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为16，当细沙全部在上面的圆锥内时，其高度为圆锥高度的（中间衔接的细管长度忽略不计）．当细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此沙堆的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先求得细沙在上部容器时小圆锥的底面半径为4，进而求出小棱锥的体积，接着求出流入下部后的圆锥形沙堆的高，最后求出沙堆的侧面积. 【详解】 细沙在上部容器时的体积， 流入下部后的圆锥形沙堆底面半径为8，设高为， 则， 所以， 下部圆锥形沙堆的母线长， 故此沙堆的侧面积． 故选：D. 【点睛】 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 3．正三棱锥的底面周长为，侧面都是直角三角形，则此棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题首先可根据题意求出侧棱长均为，然后根据三条侧棱两两垂直即可求出棱锥的体积. 【详解】 因为正三棱锥的底面周长为，所以正三棱锥的底面边长为， 因为侧面都是直角三角形，所以侧棱长均为， 因为三条侧棱两两垂直，所以此棱锥的体积， 故选：D. 4．长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据球的直径是长方体的体对角线，由，求得半径即可. 【详解】 设球的半径为R，由题意，球的直径是长方体的体对角线， 所以， 解得， 所以球的表面积为：， 故选：C 5．已知三棱锥的体积为3，且满足，，两两垂直，二面角为，则面积的最小值为（ ） A．6 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】 令PA=a，PB=b，PC=c，借助二面角大小把a用b，c表示出，再结合体积可得b，c的关系式，最后用等体积法将面积用b，c表示即可得解. 【详解】 令PA=a，PB=b，PC=c，因，，两两垂直，则平面，，过P作PD⊥BC于D，于是平面，连PD，AD⊥BC，如图： 从而有平面APD⊥平面ABC，且是二面角的平面角，即，， 过P作PO⊥AD于O，平面APD平面ABC=AD，则PO⊥平面ABC，且， 中，，得，即， 三棱锥的体积， 即，有，当且仅当b=c时取“=”， 又三棱锥的体积， 从而有，由且得，， 所以当，时，面积取最小值6. 故选：A 【点睛】 思路点睛：求三棱锥的体积时，三棱锥的每个面都可以作为底面，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积． 6．体积为1的正方体的内切球的体积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 如图可知球的半径为，结合球的体积公式即可求解． 【详解】 如图，因为正方体的体积为1，所以其边长为1 其内切球的球心为正方体的中心，半径为 则球的体积为． 故选：A 7．已知某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据轴截面是边长为2的正三角形，可求出底面圆的半径和圆锥的高，再根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】 因为该圆锥的轴截面是边长为2的正三角形， 所以该圆锥的高，底面半径， 所以该圆锥的体积. 故选：C 8．已知三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧面底面，且，则该几何体的外接球的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设底面正三角形的外心为，侧面三角形的外心为，过作底面垂线，过作侧面的垂线，相交于，从而可得为三棱锥的外接球的球心，利用勾股定理求出，再利用正弦定理求出的外接圆半径，根据球的表面积公式即可求解. 【详解】 如图，设底面正三角形的外心为，侧面三角形的外心为， 过作底面垂线，过作侧面的垂线，相交于， 则为三棱锥的外接球的球心， 由已知可得， ， 设三角形的外接圆的半径为， 则，即． 在中，可得， ∴该几何体的外接球的表面积为． 故选：C． 【点睛】 关键点点睛：本题考外接球查了多面体的外接球问题，解题的关键是作出外接球的球心，求出外接球的半径，考查了空间想象能力以及数学运算能力. 9．在长方体中，已知棱长，体对角线，异面直线与所成的角为45°，则该长方体的表面积是（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】 推导出，，求出，由此能求出该长方体的表面积. 【详解】 ∵在长方体中，异面直线与所成的角为45°， ∴与所成的角为45°，即，∴， ∴，，解得， ∴该长方体的表面积是： . 故选：C 10．钺（yuè）的本字其实是“戊（yuè