第7讲 幂的运算（一）-【暑假辅导班】2021年新七年级数学暑假精品课程（沪教版）

第7讲 幂的运算（一） 【学习目标】 《整式的乘除》是整式加减的延续和发展，也是后续学习因式分解、分式运算的基础．整式的乘法运算包含单项式乘法、单项式与多项式乘法和多项式乘法，它们最后都转化为单项式乘法．单项式的乘法又以幂的运算为基础．“整式的乘法”的内容和逻辑线索是：同底数幂的乘法——幂的乘方——积的乘方——单项式乘单项式——单项式乘多项式——多项式乘多项式——乘法公式（特例）． 由此可见，同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方是整式乘法的逻辑起点，是该章的起始课．作为章节起始课，承载着单元知识以及学习方法、路径的引领作用． 【基础知识】 一：同底数幂的乘法 1、幂的运算概念：求 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．在 中， 叫做底数， 叫做指数． 含义： 中， 为底数， 为指数，即表示 的个数， 表示有 个 连续相乘． 例如： 表示 ， 表示 ， 表示 ， 表示 ， 表示 ． 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 2、“奇负偶正”口诀的应用： 口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如： ； ． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号． （3）有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正． 例如： ， ． 特别地：当 为奇数时， ；而当 为偶数时， ． 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数． 正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”． 3、同底数幂相乘 同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为： （ 都是正整数）． 二：幂的乘方 1、幂的乘方定义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘． 2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘．即 （ 、 都是正整数） 三：积的乘方 1、积的乘方定义：积的乘方指的是乘积形式的乘方． 2、积的乘方法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘： （ 是正整数） 3、积的乘方的逆用： ． 【考点剖析】 考点一：同底数幂的乘法 例1．下列各式正确吗？不正确的请加以改正． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 【难度】★ 【答案】（1）正确；（2）不正确，正确为： ；（3）不正确，正确为： ；（4）不正确，正确为： ；（5）不正确，不能计算；（6）不正确，正确为： ；（7）不正确，正确为： ； （8）不正确，正确为： ． 【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【总结】本题主要考查同底数幂的乘法运算，同时一定要注意确保是在同底数幂乘法运算时才可以应用，注意算式中的符号． 例2．计算下列各式，结果用幂的形式表示： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【难度】★ 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【解析】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加． 例3．计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1） ； （2） ； （3） ． 【难度】★ 【答案】（1） ；（2）0；（3） ． 【解析】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算和合并同类项相关知识概念，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，然后进行合并同类项的运算． 例4．计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1） ； （2） ； （3） ． 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【解析】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【总结】本题主要考查同底数幂相乘的计算，底数不变，指数相加；同时涉及到多重负号的化简，看“ ”号的个数决定运算结果的符号，奇负偶正． 例5．如果 ，且 ，试求m、n的值． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】根据同底数幂的计算法则，可得 ，解方程组得 ． 【总结】考查同底数幂相乘的运算法则． 例6．求值： （1）已知： ，求 的值． （2）已知： ，求 的值． 【难度】★★ 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由同底数幂乘法法则，可得 ，解得 ， ； （2） ，可得 ，解得 ． 【总结】本题主要考查同底数幂相乘的运算法则，注意一定要让底数相等的前提下保证幂相等． 考点二：幂的乘方 例1．计算下列各式，结果用幂的形式表示． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ． 【难度】★ 【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ； （8） ． 【解析】幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【总结】本题主要考查幂的乘方的运算． 例2．当