第6讲 相似三角形的性质-【暑假辅导班】2021年新九年级数学暑假精品课程（沪教版）

第6讲 相似三角形的性质 【学习目标】 相似三角形的性质是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的3个性质定理．重点是灵活应用相似三角形的性质，难点是相似三角形的性质与判定的互相结合． 【基础知识】 一：相似三角形性质定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 二：相似三角形性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比． 三：相似三角形性质定理3 相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【考点剖析】 考点一：一：相似三角形性质定理1 例1．已知 ∽ ，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应， ，BE、B1E1分别是它们的对应中线，且 ．求B1E1的长． 【难度】★ 【答案】4． 【解析】解： ， 、 分别是对应中线， 即 ， 【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比． 例2．已知 ∽ ，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应， ， , 的平分线A1D1的长为6，求 的平分线的长． 【难度】★ 【答案】8． 【解析】解： ， 、 分别是 、 的平分线， 即 ， 即 的平分线的长为8． 【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 例3．求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【难度】★★ 【解析】已知：如图， ，且相似比为 ， 、 分别是 、 的高． 求证： ． 证明： ， ， ； 又 EMBED Equation.DSMT4 、 分别是 、 的高， ， ， ． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 例4．求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【难度】★★ 【解析】已知：如图， ，且相似比为 ， 、 分别是边 、 的 中线． 求证： ． 证明： ， ， ； 又 EMBED Equation.DSMT4 、 分别是边 、 的中线， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用． 例5．求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【难度】★★ 【解析】已知：如图， ，且相似比为 ， 、 分别是 、 的角平分线． 求证： ． 证明： ， ， ， ； 又 EMBED Equation.DSMT4 、 分别是 、 的角平分线， ， ， ， ． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 例6．如图， 和 中，AD和BE是 的高， 和 是 的高， 且 ， ．求证： 【难度】★★ 【解析】 证明： ，又 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，又 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 又 EMBED Equation.DSMT4 、 分别是 、 的高， ， ． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用． 例7．如图，D是 的边BC上的点， ，BE是 的角平分线，交AD于点F， ， ，求BF：BE． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】 解： EMBED Equation.DSMT4 是 的角平分线， EMBED Equation.DSMT4 ，又 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ，又 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ， ， ． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用． 例8．如图，在 中，矩形DEFG的一边DE在BC边上，顶点G、F分别在AB、AC边上，AH是BC边上的高，AH与GF交于点K．若 ， ，矩形DEFG的周长为76cm，求矩形DEFG的面积． 【难度】★★ 【答案】 ． 【解析】解：设 ， 矩形 ， ， ,又 EMBED Equation.DSMT4 是高， ， EMBED Equation.DSMT4 , ， , ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的周长面积等知识． 考点二：相似三角形性质定理2 例1．若 ∽ ， 与 的相似比为1:2，则 与 的周长比为( ) （A）1:4 （B）1:2 （C）2:1 （D） 【难度】★ 【答案】B 【总结】相似三角形的周长比等于相似比． 例2． ∽ ，它们的对应的中线比为2:3，则它们的周长比是 ． 【难度】★ 【答案】2:3 【总结】相似三角形对应中线的比等于相似比，周长比等于相似比． 例3．已知 ∽ ，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，它们的周长分别为48和60，且 ， ，求BC和A1B1的长． 【难度】★ 【答案】 ． 【解析】解： ， ； 又 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ． 【总结】本题考查相似三角形的性质． 例4．如果两个相似三角形的最长边分别为35