专题05 基本图形位置关系（知识点串讲）- 2020-2021学年高一下学期数学期末考点大串讲（苏教版2019）

专题05 基本图形位置关系（知识点串讲） 知识整合 四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 例 1 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点． 求证：(1)E，C，D1，F四点共面； 　　　(2)CE，D1F，DA三线共点． 　 【跟踪练习】 1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　) 2、如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA、FD的中点． (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？ 【解题技巧】公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据．要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理． 知识整合 直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 1 平行直线 在同一平面内 没有 异面直线 不同在任何一个平面内 没有 例 2 如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________． 【跟踪练习】 （多选题）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论，正确的结论为(　　) A．直线AM与CC1是相交直线； B．直线AM与BN是平行直线； C．直线BN与MB1是异面直线； D．直线AM与DD1是异面直线． 【解题技巧】空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决． 知识整合 异面直线所成的角 ①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角． ②范围： 例 3 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【跟踪练习】 1、(2020·广东江门一模)正方体的平面展开图如图，AB，CD，EF，GH四条对角线两两一对得到6对对角线，在正方体中，这6对对角线所在直线成60°角的有(　　) A．1对 B．2对 C．3对 D.4对 2．(2019·湖南湘潭二模)已知四棱锥P­ABCD的底面边长都为2，PA＝PC＝2，PB＝PD，且∠DAB＝60°，M是PC的中点，则异面直线MB与AP所成的角为________． 【解题技巧】(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； (2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角 知识整合 直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． ，， a∥b⇒a∥α 性质 定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． a∥α，a⊂β， α∩β＝b⇒a∥b 例4、如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点． (1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：GH∥平面PAD． 【跟踪练习】． 1、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，