第一讲 平行直线与异面直线-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第一讲 平行直线与异面直线 【学习目标】 1．掌握空间中两条直线平行的判定与性质。 2．理解并掌握等角定理，并会应用。 3．理解异面直线的定义，会画两条异面直线。 4．了解空间四边形的定义。 【基础知识】 一、平行直线 1．平行直线： (1)平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． (2)平行线的传递性： 文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质称为空间平行线的传递性． 符号表述：⇒b∥c． 2．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等． 二、异面直线 1．异面直线的定义：异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线。既不相交又不平行的直线．(画法如图所示) 2．异面直线的判定：与一个平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线异面． 3．空间两条直线的位置关系 三、空间四边形 【考点剖析】 考点一：直线位置关系的判定 例1 如图所示，已知正方体ABCD—A′B′C′D． (1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？ 【解析】　(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线． (2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°， 所以直线BA′和CC′的夹角为45°． (3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直． 考点二：异面直线的判定 例2 已知平面α∩平面β＝a，b⊂α，b∩a＝A，c⊂β且c∥a． 求证：b，c是异面直线． 【解析】　方法一：α∩β＝a，b⊂α，b∩a＝A， ∴b⊄β，A∈α．∵c∥a，∴A∉c，∴b，c是异面直线． 方法二：(反证法)若b与c不是异面直线，则b∥c或b与c相交． (1)若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，这与a∩b＝A矛盾． (2)若b，c相交于B，则B∈β，又a∩b＝A，∴A∈β． ∴AB⊂β，即b⊂β，这与b∩β＝A矛盾， ∴b，c是异面直线． 考点三：等角定理的应用 例3 如图所示，已知E，E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点．求证：∠C1E1B1 ＝ ∠CEB． 【证明】　由于E，E1分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AD, A1D1的中点， 所以EE1∥DD1，且EE1＝DD1， 又因DD1∥CC1且DD1＝CC1， 所以EE1∥CC1且EE1＝CC1， 所以四边形EE1C1C是平行四边形． 所以E1C1∥EC． 同理可得E1B1∥EB， 所以由等角定理知∠C1E1B1＝∠CEB． 考点四：直线平行的判定 例4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB, BC 的中点，求证：EF∥A1C1． 【证明】　如图，连接AC，在△ABC中， E, F分别是AB, BC 的中点， 所以 EF∥AC． 又因为 AA1∥BB1且AA1＝BB1，BB1∥CC1 且BB1＝CC1，所以AA1∥CC1且AA1＝CC1． 即四边形AA1C1C是平行四边形， 所以AC∥A1C1，从而 EF∥A1C1． 考点五：空间四边形的有关概念 例5 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 【证明】　连接BD， 因为EH是△ABD的中位线， 所以EH∥BD， 且EH＝eq \f(1,2)BD． 同理FG∥BD， 且FG＝eq \f(1,2)BD． 因为EH∥FG， 且EH ＝ FG, 所以四边形EFGH为平行四边形． 【真题演练】 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是(　　) A．相交　　　　　　　 B．异面 C．异面或相交 D．平行 【解析】　如图所示，有相交或异面两种情况． 【答案】 C 2．如果直线a与b没有公共点，那么直线a与b的位置关系是 (　　) A．异面　　　　　　　　　　　 B．平行 C．相交 D．平行或异面 【解析】 由空间中两条直线的位置关系可知，直线a与b的位置关系是平行或异面． 【答案】 D 3．下列说法正确的有(　　) A．两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线 B．两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线 C．两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线 D．两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线 【解析】 A只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；B把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；C从反面肯定了两直线的异面；D中的两条直线可能在同一平面内．故选