第五讲 平面与平面垂直-【暑假辅导班】2021年新高二数学暑假精品课程（2019人教B版选择性必修第一册）

第五讲 平面与平面垂直 【学习目标】 1．了解二面角、面面垂直的定义。 2．掌握面面垂直的判定定理和性质定理。 3．灵活运用线面、面面垂直的判定定理和性质定理解决空间中的位置关系问题。 【基础知识】 一、二面角 1．二面角的概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分通称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。(如图所示) 2．平面角的概念：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角称为二面角的平面角。 3．符号表示：OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角。(如图所示) 4．二面角的平面角的范围：[0，π] 5．规定：二面角的大小用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 6．记法：棱为l，面分别为α，β的二面角记为α­l­β．如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P­l­Q． (如图所示) 二、平面与平面垂直 1．定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角的大小为90°，则称这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作α⊥β． 2．画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图所示． 3．面面垂直的判定定理 (1)内容：如果一个平面经过另外一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。(如图所示) (2)符号表示：⇒α⊥β (3)作用：证明两平面垂直． (4)对于平面与平面垂直的判定理解：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直．通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到一条直线和另一个平面垂直即可． 4．面面垂直的性质定理 (1)内容：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(如图所示) (2)符号表示：⇒a⊥β (3)对面面垂直的性质定理的理解 ①定理成立的条件有两个：a．直线在其中一个平面内；b．直线与两平面的交线垂直． ②定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直． ③处理面面垂直的问题时，通常经过此定理转化为线面垂直． 【考点剖析】 考点一：平面与平面垂直的判定 例1 如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点。 求证：平面PAC⊥平面PBC． 【证明】　连接AC，BC， 则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC， 又BC⊂平面PBC， ∴平面PAC⊥平面PBC． 考点二：求二面角的大小 例2 如图所示，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝2，BC＝，求二面角P­BC­A的大小．，PB＝ 【解析】　∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC． 又∵AC⊥BC，PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， ∴BC⊥平面PAC． 又∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC． 又∵BC⊥AC． ∴∠PCA为二面角P­BC­A的平面角． 在Rt△PBC中， ∵PB＝，∴PC＝2．，BC＝ 在Rt△ABC中，AC＝，＝ ∴在Rt△PAC中，cos∠PCA＝，＝ ∴∠PCA＝45°，即二面角P­BC­A的大小为45°． 【答案】 45° 考点三：面面垂直的应用 例3 如图，已知：平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长． 【解析】　连接BC，因为BD⊥AB，直线AB是两个互相垂直的平面α 和β的交线， 所以 BD⊥α，BD⊥BC， 所以△CBD是直角三角形， 在直角△BAC中，BC＝eq \r(32＋42)＝5； 在直角△CBD中，CD＝eq \r(122＋52)＝13． 所以CD的长为13 cm． 【答案】 13 cm 考点四：线面距离的求解 例4 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，若AB＝AP＝2，BC＝4，则点P到平面BQD的距离为________． 【解析】　∵Q为线段PA的中点， ∴P点到平面QBD的距离等于A点到平面QBD的距离．在平面AC内过A作BD的垂线AE交BD于E，连QE， ∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA， ∴BD⊥平面QAE． 在平面QAE内过A作AH⊥QE交QE于H．∵BD⊥AH，∴AH⊥平面B