专题07 简单几何体的外接球— 2020-2021学年高一数学下期期末复习高频考点强化训练（北师大2019版）

专题07简单几何体的外接球—2020-2021学年高一数学下期期末复习高频考点强化训练（北师大2019版） 一、单选题 1．已知圆锥的底面圆周和顶点都在一半径为1的球的球面上，当圆锥体积为球体积的时，圆锥的高为（ ） A． B．1 C．1或 D．1或 【答案】D 【分析】 根据圆锥的顶点、球心、圆锥底面圆心的相对位置，结合圆锥、球的体积公式进行分类求解即可. 【详解】 设球心为、圆锥的顶点为、圆锥底面的圆心为，设圆锥的高为，底面半径为， 球的半径为， 当圆锥的顶点、圆锥底面的圆心在球心的同侧时（或者球心就是圆锥底面的圆心），即， 根据球和圆锥的对称性可知：，化简得：， 因为圆锥体积为球体积的，所以，化简得：，即 代入中得，，（舍去）， 当圆锥的顶点、圆锥底面的圆心在球心的异侧时，即， 根据球和圆锥的对称性可知：，化简得：， 因为圆锥体积为球体积的，所以，化简得：，即 代入中得，，（舍去），（舍去）， 故选：D 【点睛】 关键点睛：根据球心、圆锥底面圆心、圆锥顶点的相对位置分类讨论求解是解题的关键. 2．在三棱锥中，是等边三角形，平面平面，，则三棱锥的外接球体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由余弦定理得，从而得是直角，因此中点是是外心，证明平面，可得的外心即中三棱锥外接球的球心，求得球半径可得球体积． 【详解】 中，， 所以，， 设是中点，则是外心，又是等边三角形，所以， 而平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以的外心即中三棱锥外接球的球心， 所以球半径，球体积为． 故选：C． 【点睛】 方法点睛：本题考查求球的体积，解题关键是找到外接球球心求出球半径．三棱锥外接球球心在过各面外心且与此面垂直的直线上，由此易寻找到外接球球心． 3．在三棱锥中，，，.若三棱锥的体积为1，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由条件可知和为以为斜边的直角三角形，则的中点为外接球的球心. 过做平面，垂足为，由三棱锥的体积可求出高，根据三角形全等可证明在的角平分线上，即，由线面垂直的定理可知，从而可计算，勾股可知的长，从而计算外接球的半径和表面积. 【详解】 解：因为，所以和为以为斜边的直角三角形，则的中点到各个顶点的距离都相等，则为外接球的球心.即为直径. 过做平面，垂足为，连结，， 则，解得：. ，，，，则 分别为在平面内的射影，所以有， 又，为公共边，所以，则，所以在的角平分线上，， ，，，所以有平面，平面，则有， 因为，，所以，则， 则 故外接球的表面积为. 故选：D. 【点睛】 思路点睛：求三棱锥的外接球的球心位置，若三棱锥所有顶点都在某一边为斜边的三角形上，则斜边的中点为球心，计算斜边的长度即可求出半径. 4．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出棱锥的最大高度，利用勾股定理计算外接圆的半径，从而得出球的体积． 【详解】 解：是等腰直角三角形， 为截面圆的直径，故外接球的球心在截面中的射影为的中点， 当，，共线且，位于截面同一侧时棱锥的体积最大， 棱锥的最大高度为， ，解得， 设外接球的半径为，则，， 在中，， 由勾股定理得：，解得． 外接球的体积． 故选：C． 5．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 当 平面时，三棱锥体积最大，根据棱长与球半径关系即可求出球半径，从而求出表面积. 【详解】 当 平面时，三棱锥体积最大. 又，则三棱锥体积，解得； 故表面积. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查三棱锥与球的组合体的综合问题，本题的关键是判断当 平面时，三棱锥体积最大. 6．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 取的中点，连接，则,有为直角三角形，得到其外接圆圆心为的中点，设四面体的外接球球心为，易知四边形为直角梯形，过作于点，得到四边形为矩形求解. 【详解】 如图所示： 取的中点，连接，则. 因为为直角三角形，所以其外接圆圆心为的中点， 设四面体的外接球球心为，则平面，易知点，点位于平面同侧， 又因为平面，所以，连接，， 故四边形为直角梯形，过作于点，则四边形为矩形，连接， 设四面体的外接球的半径为，. 在中，，， 所以，. 在中，， 所以，① 在中，， 在直角梯形中，，，. 在中，，即.② 解①②组成的方程组，得， 所以，解得(负值舍去). 所以四面体的外接球的表面积. 故选：C 【点睛】 关键点点睛：本题关键是