第三章-§4-§4.1 对数及其运算-2020-2021学年高中数学必修1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§4　对数 4.1　对数及其运算 [目标导学] 1.理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化.(重点) 2.理解对数的底数和真数的范围.(易混点) 3.掌握对数的基本性质及对数恒等式，并能运用运算性质进行对数的有关运算.(难点) [教材梳理] 1.对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0且a≠1. 2.常用对数与自然对数 3.对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)loga1＝0(a>0，且a≠1). (3)logaa＝1(a>0，且a≠1). [要点探究] ►知识点一　对数的有关概念 根据对数的概念及其与指数式的互化关系式ax＝N⇔x＝logaN，探究以下问题： [探究1]　根据对数式中底数a的取值范围，回答下列问题： (1)对数的底数a可以等于0或1吗？ 提示　不可以，因为x＝logaN可以化为ax＝N，当a＝0时，若x＝0，则无意义，故a不可以等于0；又因为当a＝1时，无论x取何值，N都为1，没有研究的必要，故a也不可以等于1. (2)当对数的底数a<0时，对数式是否成立？ 提示　不一定成立，当a>0时，x＝logaN一定成立，但当a<0， 则N为某些值时，x的值不存在，如x＝log－28. [探究2]　结合指数式与对数式的互化完成下列问题： 在表格的空白处填写a，x，N这三个字母的名称. 式子 各部分名称 a x N 指数式：ax＝N(a>0，且a≠1) ____ 指数 幂 对数式：x＝logaN(a>0，且a≠1) 底数 ____ __ 答案　底数　对数　真数 ►知识点二　对数的性质及对数恒等式 [探究1]　通过下列问题的探究，明确对数具有的性质. (1)在对数式logaN(a>0，且a≠1)中只有N>0，才有意义，思考为什么负数和零没有对数？ 提示　依据对数的定义，若ax＝N，则x＝logaN，对于a>0，不论x取何实数总有ax>0，故需N>0时logaN才有意义. (2)试利用所学的知识解释对数式loga1＝0与logaa＝1为什么成立？ 提示　由指数式与对数式之间的互化关系知loga1＝0等价于a0＝1，logaa＝1等价于a1＝a，故loga1＝0与logaa＝1成立. [探究2]　完成下列几个问题，认识对数恒等式及其具有的特点. (1)若a>0，a≠1且N>0，由ab＝N可知，b＝logaN.把b＝logaN代入ab＝N可得什么结论，它的意义如何？举例说明. (2)在探究(1)所得结论的基础上，试化简式子，结果如何？ 题型一　指数式与对数式的互化 　(1)如果a＝b3(b>0，且b≠1)，则有 A.log3a＝b　　　　　 B.log3b＝a C.logba＝3 D.logb3＝a (2)在M＝log(a－1)(3－a)中，实数a的取值范围是________. (3)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式. ①3－2＝；②log 9＝－2；③lg 0.001＝－3. 【自主解答】　(1)由a＝b3化成对数式为logba＝3. (2)由题意可得解得1<a<3且a≠2. 【答案】　(1)C　(2)(1，2)∪(2，3) (3)①由3－2＝可得log3 ＝－2. ②由log 9＝－2可得＝9. ③由lg 0.001＝－3可得10－3＝0.001. ●方法技巧 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式 将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式. (2)对数式化为指数式 将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式. 1.把下列各等式化为相应的对数式或者指数式. (1)53＝125；(2)＝16； (3)log 8＝－3；(4)log3 ＝－3. 解析　(1)因为53＝125，所以log5125＝3. (2)因为＝16，所以log16＝－2. (3)因为log 8＝－3，所以＝8. (4)因为log3 ＝－3，所以3－3＝. 答案　(1)log5125＝3　(2)log16＝－2　(3)＝8 (4)3－3＝ 题型二　对数的性质及对数恒等式 　计算： (1)log2(log5 5)； (2)log(－1)； 【自主解答】　(1)原式＝log2 1＝0. (2)原式＝log(－1)＝log(－1)＝log(－1)(－1)＝1. ●方法技巧 (1)对数的基本性质为：loga 1＝0，loga a＝1(a>0，且a≠1). 以上各式对符合题意的a，b均成立. 2.求下列各式中x的值： (2)log(x＋1)(2x－3)＝1； (3)log3(log4(log5x))＝0. 解析　(1)由6log6(5x＋1)＝36得，5x＋1＝36，解得x＝7. (2)由log(x＋1)(2x－3)＝1可得 解得x＝4. (