第七章 随机变量及其分布（知识梳理）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 知识巩固 知识点一条件概率的概念 一般设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． 知识点二概率乘法公式 定义:由条件概率的定义，对任意两个事件A与B ,若P(A)>0，则,我们称上式为概率的乘法公式. 知识点三全概率公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式． 知识点四随机变量的概念、表示及特征 1．概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量． 2．表示：用大写英文字母表示随机变量，如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，如x，y，z. 3．特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： (1)取值依赖于样本点． (2)所有可能取值是明确的． 知识点五离散型随机变量的分布列及其性质 1．定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列． 2．分布列的性质 (1)pi≥0，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 知识点六　离散型随机变量的均值 离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝ipi是随机变量X的均值 1． 离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝ipi为随机变量X的均值或数学期望． 2． 离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平． 3． 离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 4.离散型随机变量的均值与方差的步骤: (1 )明确离散型随机变量的取值，以及取每个值的试验结果; (2 )求出离散型随机变量取各个值的概率; (3 )列出分布列; (4)利用公式求出离散型随机变量的均值E(X)与方差D(x). 知识点七超几何分布 超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p= , 则p是N件产品的次品率，而是抽取的 n件产品的次品率,则E( )=p,即E(X)=np. 题型探究 例 某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．离散型随机变量的均值与方差 1．均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛． 2．掌握均值和方差的计算，重点提升逻辑推理和数据分析的核心素养． (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率； (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？ 解　(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则A事件的对立事件为“X＝5”． ∵P(X＝5)＝×＝， ∴P(A)＝1－P(X＝5)＝， ∴这两人的累计得分X≤3的概率为. (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2)， 由已知，X1～B，X2～B， ∴E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝. ∴E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝. E(2X1)>E(3X2)，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值最大． 例 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从正态分布N(70,100)．已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人．正态分布 1．正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重要地位，尤其统计学中的3σ原则在生产生活中有广泛的应用． 2．熟记正态分布的特征及应用3σ原则解决实际问题是本章的两个重点，在学习中提升直观想象、数据分析的素养． (1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？ (2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为多少人？ 解　(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70,100)， 所以μ＝70，σ＝10. 则P(X≥90)＝P(X≤50)＝[1－P(50<X<90)] ＝[1－P(μ－2σ<X<μ＋2σ)]≈×(1－0.954 5) ＝0.022 75， 12÷0.022 75≈527(人)． 因此，此次参赛学生的总数约为527人． (2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝[1－P(60<X<80)] ＝[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]≈×(1－0.682 7) ＝0.158 65， 527×0.158 65≈84(人)． 因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人． $