第六章 计数原理（知识梳理）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册

第六章计数原理 知识巩固 考点一分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 考点二　分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 知识点三排列数的定义 排列的定义-----一般地，从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一一定的 顺序排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 排列数的定义: 从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示 知识点四排列数公式及全排列 1．排列数公式的两种形式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中m，n∈N*，并且m≤n. (2)A＝. 2．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，全排列数为A＝n！(叫做n的阶乘)．规定：0！＝1. 知识点五组合数公式 组合数 公式 乘积 形式 C＝， 其中m，n∈N*，并且m≤n 阶乘 形式 C＝ 规定：C＝1. 知识点六：二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 知识点七：二项式系数的性质 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 与最 大值 增减性：当k<时，二项式系数是逐渐增大的；当k>时，二项式系数是逐渐减小的．最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值 各二项 式系数 的和 (1)C＋C＋C＋…＋C＝2n； (2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1 题型探究 例现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为(　　)两个计数原理 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本章内容的学习基础，在进行计数过程中，常因分类不明导致增(漏)解，因此在解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注总数的完备性． 2．掌握两个计数原理，提升逻辑推理和数学运算素养． A．484 B．472 C．252 D．232 答案　B 解析　根据题意，共有C种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C种取法，取2张绿色卡片有C·C种取法，故所求的取法共有C－4C－C·C＝472(种)． (2)车间有11名工人，其中5名男工是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，则有多少种选派方法？ 解　方法一　设A，B代表2位老师傅． A，B都不在内的选派方法有CC＝5(种)， A，B都在内且当钳工的选派方法有CCC＝10(种)， A，B都在内且当车工的选派方法有CCC＝30(种)， A，B都在内且一人当钳工，一人当车工的选派方法有ACC＝80(种)， A，B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC＝20(种)， A，B有一人在内且当车工的选派方法有CCC＝40(种)， 所以共有CC＋CCC＋CCC＋ACC＋CCC＋CCC＝185(种)选派方法． 方法二　5名男钳工有4名被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝75(种)， 5名男钳工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝100(种)， 5名男钳工有2名被选上的方法有CCC＝10(种)， 所以共有75＋100＋10＝185(种)选派方法． 方法三　4名女车工都被选上的方法有CC＋CCC＋CCC＝35(种)， 4名女车工有3名被选上的方法有CCC＋CCA＝120(种)， 4名女车工有2名被选上的方法有CCC＝30(种)， 所以共有35＋120＋30＝185(种)选派方法． 例在高三(1)班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．排列与组合的综合应用 1．排列、组合是两类特殊的计数求解方式，在计数原理求解中起着举足轻重的作用，解决排列与组合的综合问题要树立先选后排，特殊元素(特殊位置)优先的原则． 2．明确排列和组合的运算，重点提升数学建模及数学运算的素养． (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？ (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 解　(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040(种)方法；第二步再松绑，给4个舞蹈节目排序，有A＝24(种)方法． 根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960(种)安排顺序． (2)第一步将6个演唱节目排成一列(如图中的“□”)，一共有A＝720(种)方法． ×□×□×□×□×□×□× 第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝840(种)方法． 根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝ 604 800(种)安排顺序． (3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的顺序有＝A＝132(种)． $