6.3.1 平面向量基本定理-【精彩三年】2020-2021学年高中新教材数学必修第二册课程探究与巩固配套PPT（人教A版 浙江专版）

杭州良品图书有限公司 精彩三年课程探究与巩固·数学·必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6．3.1 平面向量基本定理 第六章 平面向量及其应用 * [课程目标] 1.理解平面向量基底的概念；2.掌握平面向量基本定理，能用一组基底表示向量． 如果e1，e2是同一平面内的两个_______________，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 若e1，e2__________，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． [研读](1)只要是同一平面内两个不共线的向量都可作为一组基底，所以基底的选取不是唯一的；(2)零向量与任一向量都共线，因此零向量不能作为基底；(3)λ1，λ2是唯一的． 不共线向量 不共线 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)平面内的基底是唯一的．( ) (2)三角形的任意两条中位线上的非零向量可以作为基底． ( ) (3)平行四边形的任意两边上的非零向量可以作为基底． ( ) (4)若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，则c，d能 作为基底．( ) × √ × √ 【解析】 (1)平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向 量都可以作为基底． (2)三角形的任意两条中位线相交，所以任意两条中位线上的非 零向量不共线，可以作为基底． (3)平行四边形相对的两边上的非零向量不能作为基底． (4)设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)·a ＋(2λ－1)b＝0. 由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在 的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底． 例1如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么下列选项中说法都不正确的是( ) ①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示此平面内的所有向量； ②对于这一平面内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； B ④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0. A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【解析】 由平面向量基本定理可知，①④是正确的． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确 定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的． 对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这 样的λ有无数个，故选B. [规律方法] 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： ①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2． 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________．(写出所有满足条件的序号) ①②④ 【解析】 对于③，4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，所 以e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底． 例2如图，在平行四边形ABCD中，设对角线 试用基底a，b表示 eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝b， eq \o(AB,\s\up6(→)) ， eq \o(BC,\s\up6(→)) . 解：由题意知， eq \o(AO,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) a， eq \o(BO,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) b． 所以 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AO,\s\up6(→)) － eq \o(BO,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b， eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \o(BO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) a． [规律方法] 用基