6.2.4 向量的数量积-【精彩三年】2020-2021学年高中新教材数学必修第二册课程探究与巩固配套PPT（人教A版 浙江专版）

杭州良品图书有限公司 精彩三年课程探究与巩固·数学·必修第二册 6. 2 平面向量的运算 6．2.4 向量的数量积 第六章 平面向量及其应用 * 1．向量的夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一 点，作 则∠AOB＝θ(0≤θ≤π )叫做向量a， b的________． 当θ＝0时，a与b________； 当θ＝π 时，a与b________； a与b________，记作a⊥b． 夹角 同向 反向 垂直 eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(OB,\s\up6(→)) ＝b， 当θ＝ eq \f(π ,2) 时， 2．向量的数量积的定义 (1)两个非零向量的数量积：向量a，b是非零向量，它们的 夹角为θ，a与b的数量积(或内积)是数量 (2)零向量与任一向量的数量积为0. 3．(1)如图1，设a，b是两个非零向量， 考虑 如下的变换：过 的起点A和终点B，分别作 所在直线 的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换 为向量a向向量b________，A1B1叫做向量a在向量b上的 _____________． 投影 投影向量 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)) cos θ， 记作a·b＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)) cos θ. eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(CD,\s\up6(→)) ＝b， eq \o(AB,\s\up6(→)) eq \o(CD,\s\up6(→)) (2)如图2，在平面内任取一点O，作 eq \o(OM,\s\up6(→)) ＝a， eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝b， 过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 eq \o(OM,\s\up6(→)) 1就是向量a 在向量b上的投影向量． [研读](1)向量的数量积a·b不能表示为a×b或ab． (2)两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定． (3)向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θ eq \f(b,|b|) ＝ eq \f(a·b,b2) ·b，向量b在向 量a上的投影向量是|b|cos θ· eq \f(a,|a|) ＝ eq \f(a·b,a2) ·a． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)向量的数乘是向量，向量的数量积也是向量．( ) (2)向量a在向量b上的投影向量和向量b在向量a上的投影向量相同．( ) (3)两个非零向量的数量积的正负由这两个向量的夹角大小决定．( ) (4)向量a，b的夹角为 ，且|a|＝1，a·b＝2，则|b|＝4.( ) × × √ √ eq \f(π ,3) 【解析】 (1)向量的数量积a·b是一个实数，数乘λa仍是一个向量． (2)向量a在向量b上的投影向量与向量b在向量a上的投影向量不相同， 尽管都是向量，但是向量a在向量b上的投影向量一定与向量b共线， 向量b在向量a上的投影向量一定与向量a共线． (3)由向量数量积的公式知，两个非零向量的数量积的正负由这两个向量 的夹角大小决定． (4)由a·b＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)) cos θ，得2＝1·|b|cos eq \f(π ,3) ，得|b|＝4. 1．向量数量积的性质 设a与b都是非零向量， θ为a与b的夹角，e是与b方向相同的 单位向量． (1)a·e＝e·a＝|a|cos θ； (2)a⊥b⇔a·b＝______； (3)当a与b同向时，a·b＝__________，当a与b反向时，a·b＝ ____________．特别地，a·a＝ (4)cos θ＝_________； 0 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)) eq \s\up12(2) 或|a|＝ eq \r(a·a) ＝ eq \r(a2) ； (5) eq \b\lc\|\rc