6.2.3 向量的数乘运算-【精彩三年】2020-2021学年高中新教材数学必修第二册课程探究与巩固配套PPT（人教A版 浙江专版）

杭州良品图书有限公司 精彩三年课程探究与巩固·数学·必修第二册 6. 2 平面向量的运算 6．2.3 向量的数乘运算 第六章 平面向量及其应用 * [课程目标] 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义； 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算；3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识解决有关共线向量的问题． 实数λ与向量a的积是一个_______，这种运算叫做向量的______ ，记作_____，其长度与方向规定如下： (1) |λa|＝________． (2) 当_______时，λa的方向与a的方向相同；当_______时，λa 的方向与a的方向相反． 向量 数乘 λa |λ||a| λ>0 λ<0 [研读](1)λ是实数，a是向量，它们的积仍是向量．另外，λa＝0的条件是λ＝0或a＝0. (2)对于向量λa(a≠0)的长度： ①当|λ|>1时，有|λa|>|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(λ>1)或反方向(λ<－1)上伸长到|a|的|λ|倍； ②当0<|λ|<1时，有|λa|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<λ<1)或反方向(－1<λ<0)上缩短到|a|的|λ|. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)实数与向量相乘，结果仍是向量．( ) (2)－3a的模是a的模的3倍且其方向与a的方向相反．( ) 1．向量数乘的运算律：设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa)＝_________； (2)(λ＋μ)a＝___________； (3)λ(a＋b)＝___________； 特别地，有(－λ)a＝_________＝__________；λ(a－b)＝ ___________． √ √ (λμ)a λa＋μa λa＋λb －(λa) λ(－a) 2．向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒 有λ(μ1a±μ2b)＝__λμ1a±λμ2b__． [研读]向量的数乘运算律可以类比实数的乘法运算律来理解 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)向量数乘的运算律与实数乘法的运算律相同．( ) (2)3a＋5a＝8a．( ) (3)－2a＋3b－4a＋2b＝－6a＋5b．( ) √ √ √ 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 __________． [研读]为什么共线向量定理中规定a≠0? 理由：(1)若将条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线； (2)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa； (3)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa． b＝λa 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)－2a与3a是共线向量．( ) (2)若b＝λa，则a与b共线．( ) (3)设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则k＝ .( ) √ √ √ (2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y. [规律方法] (1) 向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中 的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数 与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因 式”指向量，实数看作是向量的系数． (2) 向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多 注意观察，恰当地运用运算律简化运算． 计算：(1)(a＋b)－3(a－b)－8a＝________________； (2)若 (c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向 量，则未知向量y＝__________________． －10a＋4b 例2 如图所示，已知▱ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且 试用e1，e2表示 [规律方法] 由已知向量来表示另外一些向量是向量解题的基础，除了要利用向量的加、减、数乘等线性运算外，还应充分利用平面几何的一些定理、性质． 如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知 试用a，b分别表示 例3 (1)已知非零向量e