6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【精彩三年】2020-2021学年高中新教材数学必修第二册课程探究与巩固配套PPT（人教A版 浙江专版）

杭州良品图书有限公司 精彩三年课程探究与巩固·数学·必修第二册 6．3 平面向量基本定理及坐标表示 6．3.5 平面向量数量积的坐标表示 第六章 平面向量及其应用 * [课程目标] 1.会用坐标表示平面向量的数量积；2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角；3.能够利用坐标判断向量的平行、垂直关系． 1．积的坐标表示： 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ _____________，即两个向量的数量积等于_______________ ________________． 2．两个向量平行、垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1) ，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔___________________； (2)a⊥b⇔___________________． x1x2＋y1y2 它们对应坐标 的乘积的和 x1y2－x2y1＝0 x1x2＋y1y2＝0 3．三个重要公式 (1)向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则 ＝ (3)向量的夹角公式：设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)) (2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| eq \o(AB,\s\up6(→)) |＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) . [研读](1)向量的平行、垂直在用坐标关系表示时，公式结构容易混淆，要注意区分； (2)向量的模即为向量的长度，其大小为平面直角坐标系中两点间的距离． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). √ √ (1)公式a·b＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)) cos θ与a·b＝x1x2＋y1y2都是求向量数量积的公式． (　　) (2)对于任意的非零向量a＝(x，y)，用坐标 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(x2＋y2))，\f(y,\r(x2＋y2)))) 表示与向量a同向的单位向量．(　　) (3)两向量a与b满足a·b<0，a与b的夹角一定是钝角．( ) (4)向量a＝(2，1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则x＝－4.( ) × √ 【解析】 (1)两个公式都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别； 若题目给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用a·b＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a)) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)) cos θ求解， 若已知两向量的坐标，则可选用a·b＝x1x2＋y1y2求解． (2)记向量a的单位向量为a0，则a0＝ eq \f(a,|a|) ，且|a|＝ eq \r(x2＋y2) ， 所以a0＝ eq \f(a,|a|) ＝ eq \f(1,\r(x2＋y2)) (x，y)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(x2＋y2))，\f(y,\r(x2＋y2)))) ， 此为与向量a＝(x，y)同向的单位向量． (3)不一定，a与b的夹角可能是180°. (4)因为a∥b，所以2×(－2)－1·x＝0，得x＝－4. 例1 已知向量a＝(1，3)，b＝(2，5)，求a·b，|3a－b|，(a＋ b)·(2a－b). 解：a·b＝1×2＋3×5＝17. 因为3a＝3(1，3)＝(3，9)，b＝(2，5)， 所以3a－b＝(1，4)， [规律方法] 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算． 所以|3a－b|＝ eq \r(12＋42) ＝ eq \r(17) . 因为a＋b＝(3，8)，2a＝(2，6)， 所以2a－b＝(2，6)－(2，5)＝(0，1)， 所以(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8. (1)已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x).若a·b＝1，则x＝( ) (2)已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)，若λa－2b与a垂直，则实数λ等于________． D －1 【解析】 (1)a·b＝2－x＝1，解得x＝1.故