【优化指导】高一数学精品导学案（预习+探究+达标训练）：湘教版必修4第10章103基本不等式及其应用（2份）

第2课时　基本不等式的应用 学习目标 重点难点 1．能够利用基本不等式求函数的最值和代数式的最值； 2．能够利用基本不等式解决实际问题中的最值问题； 3．能够利用基本不等式解决恒成立问题. 重点：利用基本不等式求函数或代数式的最值； 难点：不等式恒成立问题； 疑点：基本不等式成立条件的构建. 1．利用基本不等式求函数或代数式的最值 预习交流1 利用基本不等式求最值的关键是什么？ 2．利用基本不等式解决实际应用问题 预习交流2 应用基本不等式求解实际应用问题的一般步骤是什么？ 3．利用基本不等式解决恒成立问题 预习交流3 “不等式恒成立求参数取值范围”问题的常见解法是什么？ 在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点[来源:学|科|网] 我的学疑点[来源:学&科&网] 答案： 预习交流1：提示：基本不等式通常用来求最值问题：一般用a＋b≥22求“定和求积，积最大”问题．一定要注意适用的范围和条件：“一正，二定，三相等”．特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证． (a＞0，b＞0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤ 预习交流2：提示：(1)理解题意，设出变量； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内求出函数的最大值或最小值； (4)还原为实际问题，写出正确答案． 预习交流3：提示：常见解法有以下两种： (1)直接将参数从不等式中分离出来变成k≥f(x)(或k≤f(x))，从而转化成f(x)求最值． (2)如果参数不能分离，而x可以分离，如g(x)≥f(k)(或g(x)≤f(k))，则f(k)恒大于g(x)的最大值或恒小于g(x)的最小值，然后解关于参数k的不等式． 其中关键是f(x)或g(x)的最值的求解，这时经常采用基本不等式求最值． 一、利用基本不等式求函数的最值 求解下列问题： (1)求f(x)＝x＋的最小值； (2)求f(x)＝的最大值． x(1－4x) 思路分析：将x＋2求得4x·(1－4x)的最大值，从而得到原函数的最大值． [4x·(1－4x)]，然后根据ab≤x(1－4x)变形为f(x)＝变形求解；将，然后利用基本不等式a＋b≥2＋＋＝变形为x＋ 设x＞0，则函数y＝x－1＋的最小值等于__________． 1．在利用均值不等式求函数或代数式的最值时，有时不一定恰好能用上均值不等式，因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理，通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出均值不等式的形式再进行求解． 2．凑项的技巧通常有：添项、拆项、统一变量、“1”的代替、恒等式的巧用等，通过这些凑项方法，获得定值，从而可利用基本不等式求出最值． 二、利用基本不等式求代数式的最值 已知正数a，b满足＝3.(1)求a＋b的取值范围；(2)求ab的取值范围． ＋ 思路分析：一种思路是根据＝3变形为a＋b＝3ab，再运用基本不等式，将a＋b与ab进行转化，根据需要求得a＋b或ab的取值范围． ＋＝3，用a表示b，然后代入要求最值的式子中，消去b，再通过变形，利用基本不等式求得最值；另一种思路是先将＋ 1．设x＞0，y＞0且x＋2y＝1，则的最小值为__________． ＋ 2．设x，y∈R＋且＝1，则x＋y的最小值为__________．＋ 1．均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值． 2．含有多个变量的条件最值问题，一般方法是采取减少变量的个数，将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决；如果条件等式中，含有两个变量的和与积的形式，还可以直接利用均值不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．[来源:学&科&网] 三、基本不等式在实际问题中的应用 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝__________吨． 思路分析：总运费与购买的次数有关，每次购买x吨，所以购买次数为，从而可建立总费用与x的函数关系，利用基本不等式求出函数的最小值，同时可求出取得最小值时x的值． 建造一个容积为18 m3，深为2 m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价为200元和150元，那么池的最低造价为__________元． 1．解实际应用题要注意以下几点：①设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；②根据实际问题抽象出函数解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；③在求函数的最值时，一定要在定义域