【优化指导】高一数学精品导学案（预习+探究+达标训练）：湘教版必修4第8章82 余弦定理（2份）

第2课时　余弦定理的应用 学习目标 重点难点 1．会利用余弦定理判断三角形形状； 2．能够利用余弦定理解决三角形中的一些范围问题； 3．能综合运用正弦定理和余弦定理解决综合问题. 重点：余弦定理的应用；[来源:学科网ZXXK] 难点：正弦定理和余弦定理的综合应用； 疑点：三角形中锐角与钝角的判定. 1．利用余弦定理判断三角形形状 预习交流1 余弦定理在判断三角形形状中有哪些应用？ 2．三角形中的范围问题 预习交流2 若a，b，c是一个三角形的三边长，那么当这个三角形是锐角三角形时，a，b，c应满足什么条件？当三角形是钝角三角形时呢？ 3．三角形中的综合问题 预习交流3 在△ABC中， · 的值，三角形面积S＝bcsin A，以及余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A三者之间有何联系？ 在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点 答案： 预习交流1：提示：(1)已知三角形三条边的长度或关系时，可求出某个内角(或全部内角)，从而判定该三角形是直角三角形还是锐角、钝角三角形； (2)给出三角形的边、角关系式时，可利用余弦定理或其变形，要么将边化为角，要么将角化为边，通过整理后得出边或角的关系，确定其形状； (3)与正弦定理联合使用，推导边或角的关系，确定其形状． 预习交流2：提示：若三角形是锐角三角形，则其三个内角都是锐角，由余弦定理知a，b，c应满足b2＋c2＞a2，,a2＋b2＞c2，,a2＋c2＞b2，同时还要注意“三角形中任两边之和大于第三边”的应用； 若三角形是钝角三角形，则其内角有且仅有一个是钝角，这个角是最大边所对的角，因此要先判定边的大小，确定出最大边，再利用余弦定理建立边之间的关系，得出a，b，c满足的条件． 预习交流3：提示：由于 · ＝bccos A，所以三者都与两边之积bc以及角A的正弦值、余弦值有关，所以三者之间可以互求． 一、利用余弦定理判断三角形形状 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccos Bcos C，试判断三角形的形状． 思路分析：一种思路是化角为边，从三边的关系入手进行判断；另一种方法是化边为角，从内角的关系入手进行判断． (2012上海高考，文17)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是(　　)． A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 1．判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是否是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等． 2．利用余弦定理判断三角形形状的方法之一是化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：＝cos B．＝cos A，＝cos C， 3．利用余弦定理判断三角形形状的方法之二是化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：cos A＝.，cos C＝，cos B＝ 二、利用余弦定理解决三角形中的范围问题 设2a＋1，a,2a－1为某个钝角三角形的三边长，则实数a的取值范围为__________． 思路分析：应从两个方面建立实数a的不等式，一是2a＋1，a,2a－1作为三角形的三边长，应满足两边之和大于第三边；二是三角形是钝角三角形，最大角必须是钝角，可由余弦定理建立不等式． 已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x，则实数x的取值范围为__________． 1．三角形是钝角三角形，则其最大内角必为钝角，由余弦定理建立三边之间的关系，从而可求出参数的取值范围；三角形是锐角三角形，则其三个内角必须都是锐角，因此三内角余弦值均大于零，由此建立不等式，可求参数取值范围． 2．求解三角形中的范围问题时，要注意“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”等隐含条件的应用．[来源:学.科.网Z.X.X.K] 三、正弦定理和余弦定理的综合应用 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝1，b＝2，cos C＝. (1)求△ABC的周长；(2)求cos(A－C)的值． 思路分析：先由余弦定理求出c边，即可求出三角形周长．再根据正弦定理，求出sin A和cos A的值，然后利用两角差的余弦公式求出cos(A－C)的值． 在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知3acos A＝ccos B＋bcos C．[来源:学§科§网Z§X§X§K] (1)求cos A的值； (2)若a＝1，cos B＋cos C＝，求边c的值． 解决三角形中的有关问题时，主要通过正弦定理和余弦定理进行边角互化，但也要注意一些隐含条件的利用，例如在三角形中：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、大边对大角、最大内角的取值范围为 ，π))、最小内角的取值范围为eq \b\lc\[\r