第6讲 椭圆-2021-2022学年高二数学上学期高频考点专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

目录 考点一：椭圆的定义及其应用 2 题型一：利用定义判断轨迹 2 考点二：椭圆的标准方程及其几何性质 3 题型二：椭圆的标准方程相应问题 4 题型三：椭圆简单性质问题 6 课后综合巩固练习 7 考点一：椭圆的定义及其应用 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 依椭圆的定义，设是椭圆上一点，则有，（为常数且 题型一：利用定义判断轨迹 1．若二次函数的图象的顶点坐标为，与轴的交点，位于轴的两侧，以线段为直径的圆与轴交于，则点所在曲线为 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．线段 2．已知点的坐标为，，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹为 A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 考点二：椭圆的标准方程及其几何性质 椭圆的标准方程： ①，焦点是，，且． ②，焦点是，，且． 椭圆的几何性质 1．范围：，； 2．对称性：以轴、轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的对称中心又叫做椭圆的中心； 3．椭圆的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，如图中的； 4．长轴与短轴：焦点所在的对称轴上，两个顶点间的线段称为椭圆的长轴，如图中线段的；另一对顶点间的线段叫做椭圆的短轴，如图中的线段． 5．椭圆的离心率：，焦距与长轴长之比，，越趋近于，椭圆越扁； 反之，越趋近于，椭圆越趋近于圆． 题型二：椭圆的标准方程相应问题 1．如图，已知椭圆的中心为原点，，为的左焦点，为上一点，满足，且，则椭圆的方程为 A． B． C． D． 2．设，是椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则的取值范围是 A．，， B． C． D． 3．椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是椭圆和抛物线的一个公共点，点满足，则的离心率为 ． 题型三：椭圆简单性质问题 1．己知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 2．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为 A． B． C． D． 3．椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△的周长为6且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为 A． B． C． D． 课后综合巩固练习 1．椭圆的左，右顶点分别为，，点在上，且直线斜率的取值范围是，，那么直线斜率的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 2．已知椭圆的焦点为，．过点的直线与交于，两点．若的周长为8，则椭圆的标准方程为　　 A． B． C． D． 3．已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，过点的直线1与椭圆相交于，两点，若点是线段的中点，则直线1的斜率为　　 A．2或 B．2或8 C．或 D．或8 4．设，分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，若，且，则椭圆的离心率为　　 A． B． C． D． 5．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为　　． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，若，则△的面积为　 　． 7．若椭圆的顶点到直线的距离分别为和． （1）求椭圆的标准方程 （2）设平行于的直线交于，两点，且，求直线的方程． $ 目录 考点一：椭圆的定义及其应用 2 题型一：利用定义判断轨迹 2 考点二：椭圆的标准方程及其几何性质 3 题型二：椭圆的标准方程相应问题 4 题型三：椭圆简单性质问题 7 课后综合巩固练习 9 考点一：椭圆的定义及其应用 椭圆的定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹（或集合）叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距． 依椭圆的定义，设是椭圆上一点，则有，（为常数且 题型一：利用定义判断轨迹 1．若二次函数的图象的顶点坐标为，与轴的交点，位于轴的两侧，以线段为直径的圆与轴交于，则点所在曲线为 A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．线段 【分析】确定以线段为直径的圆的圆心坐标，利用，及二次函数图象的顶点坐标，化简，即可求得点所在曲线． 【解答】解：由题意，以线段为直径的圆的圆心坐标为，，则： 由，可得， 二次函数图象的顶点坐标为，， ， ， ， 点所在曲线为椭圆 故选：． 【点评】本题考查轨迹方程，考查学生的运算能力，解题的关键是建立等式，正确化简． 2．已知点的坐标为，，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于，则动点的轨迹为 A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线 【分析】由题意得，得到，根据椭圆的定义可求得动点的轨迹． 【解答】解：由题意得， 点轨迹是以、为焦点的椭圆． 故选：． 【点评】本题考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力