第19讲 弧、弦、圆心角、圆周角-2021-2022学年九年级数学上册课堂讲义（人教版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 弧、弦、圆心角、圆周角 【学习目标】 1.了解圆心角、圆周角的概念； 2.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 【要点梳理】 要点一、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义 　　如图所示，∠AOB的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.定理： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论： 　　在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 　　在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： 　　(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； 　　(2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 要点二、圆周角 1.圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.圆周角定理： 　　在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 3.圆周角定理的推论： 　　半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 要点诠释： 　　(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. 　　(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中. 4.圆内接四边形： （1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形． （2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）． 5.弦、弧、圆心角、弦心距的关系： 在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等)。 *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等。 【典型例题】 类型一、圆心角、弧、弦之间的关系及应用 1.如图，在⊙O中，，求∠A的度数. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案与解析】 　　　. 【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的 弦也相等． 举一反三： 【变式】如图所示，中弦AB=CD，求证：AD=BC. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】 证法1：∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的弧(同为优弧或同为劣弧)也相等) 　　　　　 ∴ 　　　　　 ∴AD=BC(在同圆中，相等的弧所对的弦也相等) 　　证法2：如图，连接OA，OD，OB，OC， 　　　　　 ∵AB=CD，∴(在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等) 　　　　　 ∴ 　　　　　 ∴AD=BC(在同圆中，相等的圆心角所对的弦也相等) 【变式】如图所示，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB． 求证：． 【答案】 证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD， ∵ OA＝OB，且，， ∴ OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB， ∴ Rt△COM≌Rt△DON， ∴ ∠COM＝∠DON， ∴ ． 证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD． ∵ M是AO的中点，且CM⊥AB， ∴ AC＝OC， 同理BD＝OD，又OC＝OD． ∴ AC＝BD， ∴ ． 类型二、圆周角定理及应用 2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角? 【答案与解析】 (a)∠1顶点在⊙O内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角； (c)图中∠3、∠4、∠BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【总结升华】 紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角． 3. 如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙