第10讲 待定系数法求二次函数的解析式-2021-2022学年九年级数学上册课堂讲义（人教版）

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型 T C T 授课日期及时段 教学内容 待定系数法求二次函数的解析式 【学习目标】 1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式； 2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的． 【要点梳理】 要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下 第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或， 或，其中a≠0； 第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中． 要点诠释： 在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为． 【典型例题】 类型一、用待定系数法求二次函数解析式 1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式. 【答案与解析】 本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得： 解得　　 ∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5. 【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c (a≠0). 举一反三： 【变式】已知：抛物线经过A（0，），B（1，），C（，）三点，求它的顶点坐标及对称轴． 【答案】设(a≠0)，据题意列，解得， 所得函数为 对称轴方程：，顶点. 2．已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5），求该函数的关系式. 【答案与解析】 设该函数解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0).因为函数经过点（2，－5）， 则：a(2+1)2+4=-5，解得a=-1所以该函数的关系式为y=-(x+1)2+4，即y=-x2-2x+3. 【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式. 举一反三： 【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点. （1）求该二次函数的解析式； （2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标. 【答案】（1）． （2）令，得，解方程，得，． ∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为. 3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式． 【答案与解析】 解法一：设二次函数解析式为(a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)． 则有 解得 ∴ 抛物线解析式为． 解法二：设抛物线解析式为(a≠0)． 由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)． 则有，即． 又，∴ ． ∴ 抛抛物物解析式为． 解法三：设二次函数解析式为(a≠0)． 则有，将点(3，0)，(0，3)代入得 解得 ∴ 二次函数解析式为，即． 【总结升华】二次函数的解析式有三种不同的形式，它们是相互联系、并可相互转化的，在实际解题时，一定要根据已知条件的特点，灵活选择不同形式的解析式求解． 类型二、用待定系数法解题 4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C． (1)求二次函数解析式； (2)求△ABC的面积． 【答案与解析】 (1)设抛物线解析式为(a≠0)，将(3，5)代入得， ∴ ． ∴ ． 即． (2)由(1)知C(0，8)， ∴ ． 【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式． 【变式】已知二次函数图象的顶点是，且过点． （1）求二次函数的表达式； （2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上. 【答案】（1）； （2）证明：若点在此二次函数的图象上，则． 得． △=，该方程无实根．