广东省(惠州一中、汕头金山中学、深圳实验学校、珠海一中)四校联考2020-2021学年高一下学期期中数学试题（word版有答案）

惠州一中 汕头金山中学 深圳实验学校 珠海一中 2020-2021学年度下学期期中考试 高一年级 数学试卷 卷面总分：150分 考试时长：120分钟 命题人：廖祖海（深圳实验） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量 ， ，且 ，则 A． B． C． D． 2．设复数 满足 ，则在复平面内 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知 ，则 A． B． C． D． 4．如图，在△ 中， ，点 是 的中点，设 ， ，则 A． B． C． D． 5．已知 为正方体， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． 6．已知 ， ，则△ 的面积的最大值为 A． B． C． D． 7．已知点 ， ， ， ，与 同向的单位向量为 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为 A． B． C． D． 8．已知点 在正方体 的侧面 内（含边界）， 是 的中点，若 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。 9．以下是真命题的是 A．已知 ， 为非零向量，若 ，则 与 的夹角为锐角 B．已知 ， ， 为两两非共线向量，若 ，则 C．在三角形 中，若 ，则三角形 是等腰三角形 D．若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面的垂足是底面三角形的外心 10．已知点 为正方体 内（含表面）的一点，过点 的平面为 ，以下描述正确的有 A．与 和 都平行的 有且只有一个 B．过点 至少可以作两条直线与 和 所在的直线都相交 C．与正方体的所有棱所成的角都相等的 有且只有四个 D．过点 可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等 11．已知圆锥 的母线长为 ，底面半径为 ，平面 为轴截面，点 为底面圆周上一动点（可与点 ， 重合），则 A．三棱锥 体积的最大值为 B．直线 与 所成角的范围为 C．三角形 面积的最大值为 D．三角形 为直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为 12． 若 ， 是两个非零向量，且 ， ，则以下可能是 与 的夹角的是 A． B． C． D． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， 则 ． 14．已知 ， 是单位向量，且 ，则 ． 15．已知三角形 的斜二侧画法的直观图是边长为 的 正三角形 （如右图所示），则 ． 16．在三棱锥 中，已知平面 平面 ， ， ， ， ，则三棱锥 的外接球的表面积为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分） 已知 ， ， ． （1）若 ， ， 三点共线，求 与 满足的关系式； （2）若 ，求点 的坐标． 18．（12分） 如图，已知点 ， ， ， 在同一平面内， 且 ， ， ， ， ． （1）求 的长； （2）求△ 的面积． 19．（12分） 在锐角△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ． （1）求 的取值范围； （2）若 ，求 的取值范围． （可能会用到的公式： ， ） 20．（12分） 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ， 为锐角，平面 平面 ． （1）证明： 平面 ； （2）若 与平面 所成角的正弦值为 ， 求二面角 的余弦值． 21．（12分） 如图，四棱锥 的底面为平行四边形， 是 的中点，过 ， ， 的平面 与平面 的交线为 ． （1）证明： 平面 ； （2）求平面 截四棱锥 所得的上、下两部分几何体的体积之比． 22．（12分） 如图直角坐标系内， 在半径为 的上半圆上， ， △ 是以 为直角的等腰直角三角形，设 ，且 . （1）求 （用 表示）； （2）求 点的坐标（用 表示）； （3）求△ 的面积的最大值． 参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B B D C B A 9．BD 10．CD 11．ABD 12．ABC 13． 14． 15． 16． 17．解：（1） ， ，（2分） 因为 ， ， 三点共线，所以 向量与 也共线，所以 ， 所以 与 满足的关系式为 ． （4分） （2）由 ，可得 ，或 ，（6分） 当 时，有 ， ； 当 时，有 ， ； 所以点 的坐标为 或 ．（10分） 18．解：(1)连 ，在△ 中，由余弦定理可得， ， 所以 ，所以