1.1 周期变化-2020-2021学年新教材高中数学必修第二册新课标辅导【精讲精练】北师大版（word）

§1　 周期变化 学业标准 学科素养 1.理解周期函数、周期、最小正周期的意义.(难点) 2.会用周期函数的定义，判断周期函数，并能求其周期.(重点) 1.通过周期定义的学习，培养数学抽象等核心素养. 2.通过周期定义的应用，提升直观想象等核心素养. [教材梳理] ◎导学　周期函数 [问题1]　钟表的时针每12小时转一圈，它的变化是周期变化吗？ [提示]　是周期变化. [问题2]　已知函数f(x)的定义域为R且f(1＋x)＝f(x)，如果x∈(0，1)时，f(x)＝x. (1)计算f(2.5)的值； [提示]　f(2.5)＝f(1＋1.5)＝f(1.5)＝f(1＋0.5)＝f(0.5)＝0.5. (2)f(x)是周期函数吗？并求其最小正周期. [提示]　是周期函数，最小正周期为1. ◎结论形成 1.周期函数、周期 一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对任意的x∈D都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)称为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期. 2.最小正周期 如果在周期函数y＝f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称为函数y＝f(x)的最小正周期.若不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期. [基础自测] 1.若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为________的周期函数. 解析　∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是周期为3的周期函数. 答案　3 2.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，0)时f(x)＝－4x2＋2，则f的值为________. 解析　∵f(x)的周期为2， ∴f＝f＝f ＝－4×＋2＝1. 答案　1 3.“春去春又回”是周期变化吗？若是，说明其周期. 答案　每隔一年，春天就重复一次，因此“春去春又回”是周期变化，一年是它的周期. 4.生活中有哪些周期现象？试举几例. 答案　地球公转、钟表的分针每小时转一圈、昼夜交替、月亮的圆缺、海水的潮汐现象等. 题型一　周期函数的判断与求值问题 [例1]　已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋3)＝－f(x).若当x∈(0，3]时f(x)＝6x，则f(919)的值为________. [自主解答]　由f(x＋3)＝－f(x)得[来源:Z.xx.k.Com] f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－f(x＋3)＝f(x). 故f(x)是周期为6的周期函数， 所以f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1)＝6. [答案]　6 [母题变式] 1.若本例的条件“f(x＋3)＝－f(x)”变为“f(x)·f(x＋3)＝－1”，其他不变，则f(919)的值为________. 解析　由已知得f(x＋3)＝－， ∴f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－＝f(x)， 故函数f(x)的周期为6. 所以f(919)＝6. 答案　6 2.本例变为已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)，若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)的值为________. 解析　由条件f(x＋4)＝f(x－2)得 f(x＋6)＝f[(x＋2)＋4]＝f(x＋2－2)＝f(x)， 故f(x)是周期为6的周期函数， ∴f(919)＝f(6×153＋1)＝f(1). 又f(x)是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6， 故f(919)＝6. 答案　6 [方法技巧][来源:学科网ZXXK] 1.函数周期性的判断 利用函数的周期性定义判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，有时也可画出f(x)的图象，直观判断f(x)的周期性. 2.周期函数的常见结论 周期函数y＝f(x)满足. (1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a＞0)，则函数的周期为2a. (2)若f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，则函数的周期为2a. (3)若f(x＋a)＝－(a＞0)，则函数的周期为2a. [触类旁通] 1.已知f(x)的定义域为R，且f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f的值为________. 解析　∵f(x＋1)＝f(x－1)， ∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝f(x＋1－1)＝f(x)， ∴f(x)是周期为2的周期函数， ∴f＝f＝f＝1－8× ＝－1. 答案　－1 题型二　周期函数的图象与性质 [例2]　定义在R上的函数f(x)满足f(1＋x)＝－f(x)，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝1－x2. (1)画出函数f(x)在[－2，2]上的图象，并求其单调区间、零点、最大值；[来源:学,科,网Z,X,X,K] (2)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式，其中n∈Z. [自主解答]　∵f(1＋x