[名校联盟]浙江省富阳市大源中学八年级数学浙教版上册《71常量与变量》课件+教案（4份）

    历史表明，数学的发展，不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。数学思想方法在历史上经历了四次重大转折：从算术到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，就充分说明这一点。回顾、总结和分析这四次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。下面主要针对从常量数学到变量数学这一转折来说明这一点。      算术、初等代数、初等几何和三角，构成了初等数学的主要内容。它们都以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象。因此这部分内容也称为常量数学。运用常量数学可以有效地描述事物和现象相对稳定的状态。可是，对于描述运动和变化，却是无能为力的。于是便产生了从量上描述事物的运动和变化规律的数学部分——变量数学。从常量数学到变量数学，是数学在思想方法上的又一次重大转折。     1．自然科学中研究变量的几个典型问题。数学的发展始终受着自然科学的影响。特别是，自然科学通过向数学提出各种重大的问题，在一定程度上推动着数学的发展。变量数学就是在回答十六、十七世纪自然科学提出的大量数学问题过程中，酝酿和创立起来的。古希腊的阿基米德(Archimedes，公元前287—212)等人在解答数学内部的某些问题时，已经十分接近了微分和积分的计算，这些计算实际上给出了微积分的原始雏型。但是，微积分理论却没能在阿基米德的时代确立，一直到十七世纪才得以完成。其原因之一，就是十七世纪以前生产和自然科学所提出的问题，常量数学大都可以解决，对变量数学的需求缺乏迫切性。然而，到了十七世纪，随着欧洲封建社会开始解体和资本主义工场手工业向机器大生产的过渡，自然科学从神学的桎梏下解放出来，开始大踏步地前进。这时，生产和自然科学部门，向数学提出一系列必须从运动变化和发展观点来研究事物的新问题。这些新问题，大体可以分为以下五种类型：     第一，描述非匀速运动物体的轨迹。开普勒在总结大量观测资料的基础上，发现行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆；伽利略(G．Galilei，1564一1642)明确提出，各种抛射物体诸如炮弹和石头的运动轨迹是抛物线。他们的工作引起了人们对圆锥曲线重新研究。圆锥曲线本来早在古希腊时代就被阿波罗尼(Apollonius,约公元前262—190)等人认真研究过，不过在十六世纪之前人们只是出自纯数学的兴趣，而且是用静态的观点来研究图形的性质，即把它们看作是由平面从不同角度截锥体而来的。行星绕日运动和抛体运动则要求人们用运动和变化的观点来研究圆锥曲线，即把曲线看成是经物体运动而生成且随时间而变化着的轨迹。     第二，求变速运动物体的速度或路程。已知变速运动的物体在某段时间内经过的路程，求物体在任意时刻的速度和加速度：反过来，已知物体运动的速度或加速度，求某段时间内经过的路程。求物体运动的速度或路程是一个古老问题，但以前人们处理的大都是匀速运动的情况，对于变速运动，只能采用求平均速度的方法给出问题的近似解。自然科学的发展则要求精确地求出变速运动的物体在某一时刻的瞬时速度，或在某一段时间内所经过的路程。这就使传统的数学方法完全不适用了。     第三，求曲线在任一点的切线。这个问题主要来源于光学和力学的需要。在光学中，要研究光线在不同介质的通道，这就涉及到光线在曲面上的反射角或进入另一个介质的折射角，而这些角是光线同曲线的法线所夹的角，法线又是垂直于切线的，所以问题就归结于求出曲线的切线；在力学中，运动物体在它轨迹上任一点的运动方向，实质上就是轨迹上这一点的视线方向。     第四，求变量的极值，即求变量在某种条件下所能达到的最大值或最小值。力学和天文学涉及到的这类问题较多。例如，炮弹运行的水平距离是一个随发射角的变化而变化的变量，求发射角为多大时这个水平离最大。再如，行星运动与太阳距离是个变量，求这个变量所能达到的最大值和最小值等等。     第五，计算曲线长度、曲边形面积、曲面体体积、物体的重心、变密度物体的重量以及大质量物体之间的引力等，求积问题也是一个古老的问题。古希腊学者为解决这类问题曾创立穷竭法，但这个方法缺乏一般性，只能解决某些特殊问题。求物体的重心、变密度物体的重量以及大质量物体之间的引力，就其思想方法而言，也属于这一类问题。     不难看出上述五类问题有一个共同的特征；就是要求把“变量”作为其研究象。这些问题成为十六、十七世纪数学研究的中心课题，正是对这个中心课题的深入研究，导致了变量数学的产生。      2．变量数学的产生及其意义。变量数学产生于十七世纪。它大体上经历了两个具有决定性的重大步骤。第一个步骤是解析几何的产生。1637年，法国数学家笛卡儿发表《方法论》一书，书后有三篇附录，其中一篇叫做《几何学》。在这篇附录中，他首次明确提出了点的坐标和变数的思想，并借助