2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册重难点题型专项提优-专题11 空间角与空间距离的计算（江苏，机构专用）

2021人教A版新高一数学下学期重难点题型专项提优 专题11综合法计算空间角与空间距离（解析版） 本专题主要强化三个内容：一、异面直线所成的角；二、直线与平面所成的角；三、二面角的计算；四、空间距离的计算． 【2021新高一江苏无锡、苏州适用】 【考点一：异面直线所成的角】 例1．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取中点F，中点G，连接DF、DG、FG，∴FG∥，∥DF，故∠DFG就是异面直线与所成角，设正方体的棱长为a，则，，，∴cos∠DFG＝． 例2．四棱锥中，底面为正方形，且平面，，则直线与直线所成角的大小为 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，与交于点，取的中点，连接，． 由中位线定理，可得OE∥PB，且， 即有即为直线与直线所成角． 由平面，设， 可得直角三角形中，， ，在等腰直角三角形中，， 在正方形中，， 则△AOE为等边三角形，可得． 变式训练： 1．如图，在三棱锥中，，，则异面直线 与所成角的余弦值是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，分别取、、的中点、、，连接、、、和，则DE∥SB，DF∥AC，所以即为异面直线与所成角． 由题可知，△ABC和△SBC均为正三角形，所以，即△AFS为等边三角形，因为为的中点，所以， 而，， 在△DEF中，由余弦定理知，． 2．如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，给出以下结论，其中正确的有 A．与所成的角为 B．平面 C．平面平面 D．对于任意的点，三棱锥的体积均不变 【答案】BCD 【解析】（1）连接，，为与所成角，设正方体棱长为1，则，，故错误； （2）平面平面，平面，平面，即平面，故正确； （3）连接，则，平面，，又， 平面，又平面，平面平面，故正确； （4）设正方体棱长为1，则，故三棱锥的体积均不变，故正确． 【考点二：直线与平面所成的角】 例1．在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作⊥于点O，连接BO，易证⊥平面，则∠就是就是直线与平面所成的角，求得，，所以sin∠＝＝． 例2．如图，已知四棱锥中，平面，底面为矩形，，．若在直线上存在两个不同点，使得直线与平面所成角都为．则实数的值为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【解析】如图，当时，由，得，又，，即． 若，则直线上不存在点，使直线与平面所成角为． 若，则直线上存在唯一一个点，使直线与平面所成角为． 若，则直线上存在两不同点，使直线与平面所成角都为． 结合选项可知，的值可以是1，2，3． 例3．如图1，在直角梯形中，，，且．现以为一边向外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图2． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【解析】解：（1）证明：在直角梯形中，，，且． ，，， 以为一边向外作正方形，然后沿边将正方形翻折， ， 平面与平面垂直，平面平面， 平面，又平面，， ，平面． （2）作DG⊥BE于点G，连接CG， 由（1）知平面，又平面，BC⊥DG， 又DG⊥BE，BCBE＝B，∴DG⊥平面BEC，故∠DCG就是所要求作的线面角， DG＝，所以sin∠DCG＝， ∴CD与平面所成角的正弦值为． 变式训练： 1．已知四棱锥中，底面是菱形，平面，，，点为的中点．求直线与平面所成角的余弦值． 【解析】解：底面是菱形，， 为正三角形， 点为的中点，， 平面，平面，． ，，，平面，， 平面． 在平面内，过作，交于， 平面，平面，． ，，，平面，． 平面． 即为直线与平面所成角． 平面，平面，． 底面为菱形，，点为的中点，，． 在中，，，，． ． 直线与平面所成角的余弦值为． 2．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AB＝BC＝1，AD＝2．则PB与平面PCD所成的角的正弦值为 ． 【答案】 【解析】延长AB、DC交于点E，连接PE，取PE中点Q，连BQ，作BF⊥DE于点F，连接FQ，作BG⊥FQ于点G，连PG，易证BG⊥平面PCD(也就是平面PDE)，则∠BPG就是PB与平面PCD所成的角，求得BQ＝，BF＝，∴FQ＝，故BG＝，∴sin∠BPG＝． 【考点三：二面角的计算】 例1．如图，在正方体中，二面角的大小为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正方体中，平面，，， 是二面角的平面角，，，， 二面角的大小为． 例2．如图，四棱锥中，底画是边长为2的正方形，侧面为正三角形，，分别为，的中点，．求二面角的正切值． 【解析】解：取中点，连接，、为中点，， 平面，平面 过作，则，即为该二面角的平面角