（机构适用）6.3二项式定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册学案

学习目的 6.3二项式定理 1了解二项式定理 2.理解二项式系数的性质 3.掌握多项式展开式的特定项或系数问题基础知识 1、 二项式定理 （1）二项式定理：（a+b）=++...+，n∈N*. （2）二项式展开式：二项式定理右边的多项式叫做（a+b）的二项式展开式，它共有n+1项. （3）二项式系数：各项的系数（k=0，1，2，...，n）叫做二项式系数. （4）二项展开式的通项：二项展开式中第k+1项叫做二项展开式的通项.问题探究 示例1 1 （1）设 . ①求 ； ②求 ； ③求 ； （2）求 除以9的余数． 【答案】 （1）解：①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16. ②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256， 而a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136. ③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15 （2）解：S＝C ＋C ＋…＋C ＝227－1 ＝89－1＝(9－1)9－1＝C ×99－C ×98＋…＋C ×9－C －1 ＝9(C ×98－C ×97＋…＋C )－2 ＝9(C ×98－C ×97＋…＋C －1)＋7， 显然上式括号内的数是正整数． 故S被9除的余数为7 【考点】二项式系数的性质 【解析】（1）利用赋值法分别求出 ，  和的值。 （2）利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用组合数的性质，从而求出 除以9的余数。示例2 2.二项式 的展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大. （1）求所有二项式系数的和； （2）求展开式中的有理项. 【答案】 （1）解：由题意，二项展开式中，有且只有第三项的二项式系数最大，可得 ， 因此所有二项式系数的和 . （2）解：二项展开式的通项为： 由有理项的定义，可得 ，所以 或 ， 因此所求有理项为 ， . 【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用 【解析】（1）由二项展开式的性质求得 的值，结合二项式系数的性质，即可求得二项式系数的和；（2）取得二项展开式的通项为： ，根据有理项的定义，求得 或 ，代入即可