8.2一元线性回归模型及其应用-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲

第八章 成对数据的统计分析 8.2一元线性回归模型及其应用 知识点1-----一元线性回归模型 我们称该式为Y关于x的一元线性回归模型.其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差.如果e=0,那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 知识点2-----一元线性回归模型参数的最小二乘估计 1.线性回归方程与最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心(x，y)，是回归直线方程最常用的一个特征 我们将称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线。这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计(lastsqures estimate), 其中 2.残差的概念 对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 3.残差与残差分析 对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值,通过经验回归方程得到的称为预测值,观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果,通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果,以及判断原始数据中是否存在可疑数据等,这方面工作称为残差分差. 4.刻画回归效果的方式 ⑴残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图．若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好. （2）残差平方和法 残差平方和，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差. (3)利用R2刻画回归效果 决定系数R是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中，它代表解释变量客户预报变量的能力.，R2越大，即拟合效果越好，R2越小，模型拟合效果越差 注意 残差图是以残差为纵坐标,以其他有关量为横坐标的散点图.根据一元线性回归模型中对随机误差的假定，残差应是均值为0、方差为σ²的随机变量的观测值，其残差图中的点应大致均匀地分布在某一水平带状区域内,没有任何明显的趋势. 经典例题 例题1.给出下列说法： ①回归直线 恒过样本点的中