7.5正态分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义

第七章随机变量及其分布 7.5正态分布 知识点1-----正态分布 （1）定义 如果对于任何实数随机变量满足：，则称随机变量服从正态分布。记为 （2）正态分布的期望与方差 若，，则的期望与方差分别为：，。 要点诠释： （1）正态分布由参数和确定。 参数是均值，它是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可用样本的均值去估计。是 标准差，它是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计。 （2）经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布． 在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布． 知识点2-----正态曲线 1.正态曲线: 沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变， 所得的曲线依然是正态曲线函数，其中,为参数. 显然对于任意x∈R，，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.若随机变量X的概率密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为X～，特别地，当=0，=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 2.正态曲线的性质： ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在时达到峰值； ④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近. ⑤曲线与轴之间的面积为1； ⑥决定曲线的位置和对称性； 当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。 ⑦确定曲线的形状； 当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。 要点诠释： 性质①说明了函数具有值域（函数值为正）及函数的渐近线（x轴）．性质②并且说明了函数具有对称性；性质③说明了函数在x=时取最值；性质⑦说明越大，总体分布越分散，越小，总体分布越集中． 重难点探究 随机变量取值的概率与面积的关