6.3二项式定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册讲义

（1） 二项式定理：（a+b） EMBED Equation.KSEE3 =+ EMBED Equation.KSEE3 EMBED Equation.KSEE3 +...+ EMBED Equation.KSEE3 ，n∈N*. （2）二项式展开式：二项式定理右边的多项式叫做（a+b） 的二项式展开式，它共有n+1项. （3）二项式系数：各项的系数 （k=0，1，2，...，n）叫做二 项式系数. （4）二项展开式的通项：二项展开式中第k+1项 叫做二项展开式的通项. 性质1：对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 即 = 性质2：增减性与最大值: 先增后减 当n是偶数时,中间的一项 ,取得最大值 当n是奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取得最大值。 性质3：各二项式系数的和 EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT (1).也就是说, (a+b)n的展开式中的各个二项式系数的和为2n (2.)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于2 例题1 1.设 （1）求 ， 的值 （2）求 除以9的余数 【答案】 （1）解：对于 令 ，得： ① 令 ，得： ② ①+②得： ，∴ = . ，求导得： ， 令 ，得 ， 即 （2）解： ∴ 显然，上面括号内的数为正整数，故求 被9除的余数为7 【解析】（1)利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用赋值法得出 ①和 ②， ①+②得 的值，用二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用求导的方法结合赋值法求出 的值 。 （2）利用二项式定理求出展开式中的通项公式，结合变形的方法，进而求出 除以9的余数 。     例题2.   （1）设 . ①求 ； ②求 ； ③求 ； （2）求 除以9的余数． 【答案】 （1）解：①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16. ②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256， 而a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136. ③令x＝0得a0＝(0－1)4＝