2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册重难点题型专项提优-专题08 球与空间中的位置关系（江苏，机构专用）

2021人教A版新高一数学下学期重难点题型专项提优 专题08球与空间中的位置关系（解析版） 本专题主要强化四个内容：一、与外接球有关的问题；二、与内切球、棱切球有关的问题；三、球与平面的交线、球的截面等计算；四、空间中点、线、面的位置关系． 【2021新高一江苏无锡、苏州适用】 【考点一：与外接球有关的问题】 例1．已知正三棱锥S—ABC的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是 ． 【答案】 【解析】由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形的外接圆的圆心，外接圆的半径，正三棱锥的外接球的球心在高所在的直线上，设为，连接 得：， 所以，即，所以三棱锥的高， 由勾股定理得，，解得：，所以外接球的表面积． 例2．棱长为6的正四面体ABCD与正三棱锥E—BCD的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E—BCD的体积为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设外接球半径为R，则正三棱锥E—BCD的高， BE2＝， 根据AB2＋BE2＝AE2，得，解得， 解得，∴VE—BCD＝，故选A． 例3．已知直三棱柱ABC—A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝1，AC＝，AB⊥AC，AA1＝4，则球O的表面积为 A．5 B．10 C．20 D． 【答案】C 【解析】由直棱柱的外接球的半径与底面三角形的外接圆的半径和棱柱高的一半构成直角三角形．，，，外接圆的半径， 球心到底面的距离，球的半径满足，球的表面积为． 例4．已知四面体A—BCD中，AB＝CD＝，AC＝BD＝，BC＝AD＝，则其外接球的体积为 ． 【答案】 【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以，，为三边的三角形作为底面，且以分别，，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为，，的长方体， 并且，，，则有为球的半径）， 所以球的体积为． 变式训练： 1．已知四面体ABCD满足：AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝1，BD＝，则四面体ABCD外接球的表面积为 ． 【答案】2π 【解析】取BD中点O，可知OA＝OB＝OC＝OD＝，所以四面体的外接球是以O为球心，为半径的球，故S表＝4πR2＝2π． 2．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝2，AC＝，∠BAC＝30°，AA1＝，则其外接球体积是 ． 【答案】 【解析】在中，，，，由余弦定理可得 ，，为等腰直角三角形． 则上下底三角形斜边中点，分别为，△的外心，的中点为球心，则其外接球的半径，其体积． 【考点二：与内切球、棱切球有关的问题】 例1．如图，在底面边长为2，高为3的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为 ． 【答案】 【解析】大球的半径为，设小球的半径为，由题意可知，，，，所以，，， 解得． 例2．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点、，若线段的最小值为，则下列结论不正确的是 A．正方体的外接球的表面积为 B．正方体的内切球的体积为 C．正方体的棱长为2 D．线段的最大值为 【答案】D 【解析】解：设正方体的棱长为，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即， 内切球半径为棱长的一半，即．、分别为外接球和内切球上动点， ，解得：．即正方体棱长为2，正确； 正方体外接球表面积为，正确；内切球体积为，正确； 线段的最大值为，错误． 例3．把四个半径为1的小球装入一个大球内，则大球半径的最小值为 ． 【答案】 【解析】当四个小球彼此相外切，与大球内切时，大球半径的最小，四个小球，三个在下，一个在上，四个球心连线成正四面体，该正四面体的边长为2，则正四面体的高为：， 则正四面体的外接球半径为，大球半径最小为：． 例4．早期的毕达哥拉斯学派学者注意到用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形，即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体，它们的各个面和多面角都全等．已知正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，共有12个顶点，30条棱，20个面，正二十面体的体积公式为（其中为棱长），已知一个正二十面体各棱长之和为，则该正二十面体内切球的半径为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，正二十面体的棱长，设正二十面体内切球的半径为， ，解得． 例5．正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，若球与正三棱锥所有的棱都相切，则这个球的表面积为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】