§5.1 空间几何体及其表面积、体积-2020-2021学年高二数学下学期期末考试迅速提分复习方案（江苏专用）

§5.1　空间几何体及其表面积、体积 一、【知识梳理】 知识点1．空间几何体的结构特征 一、多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等 棱锥 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分 二、旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 任一边所在的直线 圆锥 直角三角形 一条直角边所在的直线 圆台 直角梯形 垂直于底边的腰所在的直线 球 半圆 直径所在的直线 三、简单组合体 简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体． 知识点2．空间几何体的直观图 简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是： (1)画几何体的底面 在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半． (2)画几何体的高 在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变． 知识点3．几何体的表面积 圆柱的侧面积 圆柱的表面积 圆锥的侧面积 圆锥的表面积 圆台的侧面积 圆台的表面积 球体的表面积 柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和. 把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积. 知识点4．几何体的体积 圆柱的体积 圆锥的体积 圆台的体积 球体的体积 正方体的体积 正方体的体积 二、【典例剖析】 考点一 ：空间几何体的结构特征 【典例1】《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） A.4 B.8 C.12 D.16 【典例2】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】 1.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ） A. B. C. D. 2.已知长方体的所有顶点在同一个球面上，若球心到过点的三条棱所在直线的距离分别是，则该球的半径等于__________． 考点二 ：空间几何体的直观图 【典例3】如图所示，是水平放置的的直观图，轴，轴，，，则中，（ ） A．2 B．5 C．4 D． 【典例4】如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(　　) A．　　　　　　　B. C. 　 D． 【变式探究】 1.（2019·河南高考模拟（理））设四面体各棱长均相等，为的中点，为上异于中点和端点的任一点，则在四面体的面上的的射影可能是（ ） A.① B.② C.③ D.④ 2.佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB与CD所在直线的位置关系为（ ） A．平行 B．相交 C．异面且垂直 D．异面且不垂直 考点三 ：几何体的面积 【典例1】某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）． A． B． C． D． 【典例2】已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】 1．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________． 2．已知四面体内接于球O，且，若四面体的体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_____． 考点四 ：几何体的体积 【典例3】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A.8 B.12 C. D. 【典例4】