2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第二章3.1 向量的数乘运算学案

2020级高一数学导学案 为你提高数学成绩，赵老师全力以赴 §3 从速度的倍数到向量的数乘 §3.1 向量的数乘运算 ————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]———— 1、理解向量数乘的概念及其几何意义。 2、了解向量数乘的运算律并能应用。 3、理解向量的线性运算（线性组合）的概念。 重点：1、向量的数乘及其几何意义。 2、向量数乘的运算律及其应用。 难点：向量的线性运算。 【课前预习案】 预习靠自觉，把握靠自己 一、阅读教材P87—P88“向量的数乘运算”部分 情景一：在大气中，光的传播速度大约为 米/秒，声音的传播速度大约为340米/秒，又称1马赫（音速单位：1马赫=1200千米/时），光速约为声速的 倍。所以，当我们看到闪电后，通过读秒直至听到雷声就能判断雷电距离我们大致多远。 情景二：2021年4月1日是“中美南海撞击事件”20周年。2001年4月1日，美国一架EP—3电子侦察机侵犯我南海领空，我军派出两架歼—8Ⅱ战斗机跟踪拦截，美军飞机突然撞向我战机，致使我战机坠毁，飞行员王伟牺牲。EP—3电子侦察机最大时速为800km/h(0.7马赫)，歼—8Ⅱ战斗机最大时速为2500km/h(2.2马赫)。歼—8Ⅱ战斗机最大时速约是EP—3电子侦察机的3倍。 以上实例说明存在这样的两个向量，它们是共线的，且大小具有倍数关系。因此，有必要定义实数与向量的乘积运算。 【抽象概括】 1、数乘向量的定义 实数 与向量 的乘积是一个向量，记作 ，其方向与长度满足： （1）当 时， 与 同向；当 时， 与 反向；当 时， 。 （2） 。 这种运算称为向量的数乘，或数乘向量。 2、数乘向量的几何意义 当 时， 的长度是 的长度在原方向伸长或缩短 倍； 当 时， 的长度是 的长度在反方向伸长或缩短 倍。 3、向量的单位化 非零向量 方向上的单位向量是 ，即非零向量 除以它的模（乘它的模的倒数）是一个与 同向的单位向量，这个过程称为向量的单位化。 思考：与非零向量 共线的单位向量如何表示？ 4、数乘向量的运算律 （1）结合律： ； （2）分配律： ； 。 5、向量的线性运算 向量的加法、减法和数乘的综合运算