18 万有引力与航天常见易错问题分析-《中学生数理化》高一使用2021年4月刊

■杨宗礼 一、对开普勒第三定律理解错误 例1 探测火星一直是人类的梦想,近 年来,人类发射了多枚火星探测器,对火星进 行了科学探究。1925年德国物理学家瓦尔 特·霍曼提出了一种相对节省燃料的从地球 飞往火星的方案,其基本构想是在地球上将 火星探测器发射后,探测器立即被太阳引力 俘获,以太阳为焦点沿椭圆轨道B 运动,到 达火星。椭圆轨道B(半长轴为a)分别与地 球公转轨道A、火星公转轨道C 相切,如图1 所示。下列说法中正确的是( )。 图1 A. r2地 T3地= r2火 T3火= a2 T3椭 B. r3地 T2地= r3火 T2火= a3 T2椭 C. r3地 T2地= r3火 T2火< a3 T2椭 D. r3地 T2地= r3火 T2火> a3 T2椭 易错分析:记错开普勒第三定律的公式, 错选 A;没有想到火星探测器围绕太阳在椭 圆轨道上运动时要把火星探测器作为人造行 星处理,错选C或D。 正解:火星探测器在椭圆轨道上运动和 地球、火星围绕太阳运动,中心天体均为太 阳,根据开普勒第三定律可知,所有行星的轨 道的半长轴(半径)的三次方与它的公转周期 的二次方的比值都相等。答案为B。 解答本题的关键是准确 记忆和从本质上正确理解开 普勒第三定律。开普勒第三定律的内容是所 有行星的轨道的半长轴(半径)的三次方跟它 的公转周期的二次方的比值都相等。开普勒 行星运动定律不仅适用于太阳—行星系统, 类似的绕中心天体转动的系统一般都适用, 如地—月系统、行星—卫星系统、恒星—彗星 系统等。 二、不明条件,误用万有引力定律 例2 有人设想要“打穿地球”,从中国 建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。设 地球是半径为R 的均匀球体,质量为 M,若 质量为m 的物体放在地球中心,则物体受到 地球的万有引力为( )。 A.零 B.G Mm R2 C.无穷大 D.无法确定 易错分析:对万有引力定律公式的适用 条件缺乏深刻的认识,单纯从数学角度理解 处理问题,认为物体与地球的距离为零,由 F=G Mm R2 得出万有引力为无穷大,错选C。 正解:将一质量为m 的物体放在地球中 心,可以把地球分成无限多份(每一份都可以 视为质点),每一部分对物体的引力就适用万 有引力定律公式,每一部分对物体的引力都 与关于球心对称的另一部分的引力平衡,由 对称性得地球对物体的万有引力为零。答案 为A。 万有引力定律公式适用 于质点间、匀质球体或球壳之 间的引力计算,本题中把物体放在地球中心, 不能把地球当成质点,也不能把地球的质量 看成集中在球心处理,不能直接使用万有引 力定律公式求引力。 三、混淆万有引力定律公式中的R 与向 心力公式中的R 例3 如图2所示,某双星系统A、B 绕 其连线上的O 点做匀速圆周运动,若A 星的 轨道半径为RA,B 星的轨道半径为RB,双星 的运 动 角 速 度 为 ω,则 双 星 的 总 质 量 M 为( )。 图2 A. ω2 G (RA+RB)3 B. G ω2 (RA+RB)3 C. G ω2 (R3A+R3B) D. ω2 G (R3A+R3B) 易错分析:混淆万有引力定律公式中的 63 物理部分·易错题归类剖析 高一使用 2021年4月 R 与向心力公式中的R,设双星的质量分别 为mA、mB,则 M=mA+mB,根据万有引力 定 律 得 G mAmB R2A =mAω2RA,G mAmB R2B = mBω2RB,解得 M= ω2 G (R3A+R3B),错选D。 正解:设双星的质量分别为 mA、mB,双 星间的距离为 L,则 M =mA +mB,RA + RB=L,根 据 万 有 引 力 定 律 得 G mAmB L2 = mAω2RA,G mAmB L2 =mBω 2RB,解 得 M = ω2 G (RA+RB)3。答案为A。 万有引力定律公式中的 R 是两质点间的距离,向心力 公式中的R 是物体做匀速圆周运动的半径, 二者可以相等也可以不相等,要具体情况具 体分析,不能混为一谈。 四、对变轨模型一知半解 例4 我国于2020年7月23日成功发 射的“天问一号”火星探测器经过多次变轨, 图3 预计将于今年5月份 在火星着陆。如图3 所示为“天问一号”火 星探测器经过多次变 轨后登陆火星的轨迹 图,轨道Ⅰ为圆形轨 道,轨道Ⅱ为椭圆轨 道,两轨道相切于 P 点,“天问一号”在轨道 Ⅰ上P 点运行的速度v1 与在轨道Ⅱ上P 点 运行的速度v2 的大小关系是( )。 A.v1=v2 B.v1>v2 C.v1<v2 D.无法确定 易错分析:P 点为两轨道的切点,认为 “天问一号”在同一点的速度大小一定相等, 错选A;对变轨模型一知半解,错选C。 正解