14 盘点与复数交汇的新颖试题-《中学生数理化》高二数学2021年4月刊

中学生数理化罡薮学凰葺铝周 盘点与复数交汇的新颍试懣 ■江苏省宿迁中等专业学校谢志林 复数是高中数学的重要知识,也是高考 点评:这是复数与简易逻辑的交汇题,主 的必考内容,高考对其要求不高,主要考查复要考查纯虚数的定义、充分必要条件。一般 数的基本概念、基本运算及其几何意义。复地,判断充要条件可以从两方面考虑:一是明 数具有数和形的双重身份,是中学数学知识确这类问题中哪个是条件,哪个是结论,由结 的一个重要交汇点,常与其他数学内容交叉论是否可以推出条件,然后再运用充分不必 渗透,其中复数只是起着“传接”和“包装”作要、必要不充分、充分必要条件的定义加以说明。 用,难度并未加大,而对与之交汇的其他数学 三、与圆锥曲线的交汇 知识和数学思想方法的考查却相当深刻。下 例3已知z∈C,|+i+|-i=4, 面就与复数交汇的问题进行盘点,以期对同则z对应的点Z的轨迹为() 学们有所帮助。 A.椭圆 B.双曲线 与集合交汇 C.抛物线 D.线段 侧已知集 解析:|x+i+|z-i=4的几何意义为 N={z||z+i=|z-i},则M∩N 复数对应的点Z到点A(0,-1)和点B(0, 解析:|z+1|=1的几何意义是复平面1)的距离之和为4,即|ZA|+|zB|=4。又 内以点(-1,0)为圆心,1为半径的圆。|AB|=2,故由椭圆的定义可知x对应的点 z+i计=|z-i表示复平面内到点A(0,1)z的轨迹为椭圆,选A 和点B(0,-1)的距离相等的点的集合,是线 点评:本题主要以复数为载体考查椭圆 段AB的垂直平分线,也就是x轴 的定义、复数的几何意义,解决这类问题一般 M∩N的几何意义是x轴与圆的公共是通过复数的几何意义将复数问题实数化, 点对应的复数,故z=0或x=-2 再利用圆锥曲线的定义求解。 三、与数列的交汇 点评:本题以集合为载体考查了复数的 例4数列{an}中,a1=2i,(1+i)an+ 几何意义,解题的关键是根据复数的几何意 (1-i)an(n∈N),则a2021的值为( 义找出公共点 D.-—2i 与简易逻辑交汇 例2设x∈R,则“x=1”是“复数z 解析:由(1+i)an+1=(1-i)an,得“ x2-1)+(x+1)i为纯虚数”的() =-i,{an}是以2i为首项,一i为公比的 A.充分必要条件 B.必要不充分条件 等比数列,故a201=a i)200=2i,选C。 充分不必要条件 点评:本题以数列为载体考查了复数的 既不充分也不必要条件 除法以及复数的乘方运算。求解时,先按普 解析:因为复数=(x2-1)+(x+1)i 通数列根据已知条件求出数列的通项公式, 再按照复数的运算性质求解。 为纯虚数,所以 解得 四、复数与新定义运算 又当x=1时,=2i是纯虚数,因此, 对于任意两个复数 “x=1”是“复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2∈R),定义运 虚数”的充分必要条件,选A 算“⊙”:z1z2=x1x2+y1y2。设非零复数 演练篇核心考点AB卷答案 高二数学2021年4月 中 生数理代 ωω2在复平面内对应的点分别为P1,P2,以及所求事件的列举要做到不重不漏。 点O为坐标原点,若 0,则在 六、与解三角形的交汇 △POP2中,∠P1OP2的大小为。 侧7已知△ABC的三个内角A,B, 解析:设∞=a1+b1i,a2=a2+b2i(a1C所对应的边分别为a,b,c,复数z1=a+ a2≠0),故得点P(a1,b1),P:(a3,b2),且b;,x2=cosA+ cos Bi(其中i是虚数单位), 且 (1)求证: a cos I+ bcos A=c,并求边长 从而 的值 OP1⊥OP2,即∠P1OP2=90°。 (2)判断△ABC的形状,并求当b=3 点评:本题立意新颖,定义新运算“⊙”,时,cosA的值。 要求理解所给“运算”的法则,并利用此法则 解析:(1)因为△ABC的三个内角A,B, 解题,要求同学们通过观察、阅读、归纳、探索C所对应的边分别为a,b,c,所以由余弦定 进行迁移,即读懂新运算,理解新情境,获取 理得 acos H+ bcos a=a×a+c2-b2 b× 有用的新信息,然后运用这些有用的信息进 b2+c2 一步演算和推理,从而考查同学们在新的信 息、情境下独立获取和运用新信息的能力,以 bcos B 及综合运用数学知识解决问题的能力 ( a cos b+ bcos A)i=3i,所以 a cos A 五、与概率的交汇 bcos b-0,acos b+bcos a-3 侧6将一个质地均匀的正方体(6个 所以c=3。 面上分别标有数字0,1,2,3,4,5)和一个正 (2)由(1)得, a cos a= bcos b。① 四面体(4