第一章 §1.1-§1.1.2-§1.1.3 四种命题 四种命题的相互关系-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§1.1.2　四种命题 §1.1.3　四种命题间的相互关系 [课标要求] 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题． 2．掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的联系． 3．会利用命题的等价性解决问题． [基础梳理] 1．原命题与逆命题 2．原命题与否命题 3．原命题与逆否命题 4．四种命题的真假关系 (1)一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 假 (2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． ②两个命题为互逆命题或互否命题，其真假性没有关系． [要点探究] 知识点一　四种命题之间的关系 探究1：结合四种命题间的关系图，思考下列问题： (1)判断两个命题之间的关系关键看命题的条件与结论的哪方面？ 提示　判断两个命题之间的关系关键看两个命题的条件和结论之间是否互换了，是否否定了． (2)一个命题的逆命题与否命题是等价命题吗？ 提示　可以通过命题的结构形式，即它的条件和结论分析，逆命题与否命题互为逆否命题，故逆命题与否命题是等价的． 探究2：根据四种命题之间的关系，完成下列填空： (1)一个命题的逆命题和逆否命题的关系是________． (2)若一个命题的否命题为真，则这个命题的逆命题的逆否命题是________命题(填“真”“假”)． 提示　(1)互为否命题　(2)真 知识点二　四种命题的真假性及等价命题 根据四种命题的真假性，讨论下列问题： 探究1：四种命题之间哪些命题具有相同的真假性？ 提示　原命题与其逆否命题具有相同的真假性，原命题的逆命题与原命题的否命题具有相同的真假性． 探究2：在四种命题中，真命题的个数可能有几个？ 提示　因为原命题与逆否命题、逆命题与否命题均互为逆否命题，它们同真或同假，所以真命题的个数可能是0,2或4. 探究3：当判断一个命题的真假比较困难时可否利用其逆否命题的真假判断？ 提示　因为原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，所以当判断一个命题的真假比较困难时，可利用它与逆否命题的等价性来证明，在有些题目中，也会用反证法这种逆向思维的思路来分析和解决问题. 题型一　四种命题的概念 　写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面； (2)如果x>10，那么x>0. 【自主解答】　(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线． (2)逆命题：如果x>0，那么x>10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10. ●规律总结 1．写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论，若原命题不是“若p，则q”的形式，应改写成“若p，则q”的形式． 2．如果原命题含有大前提，在写原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变． 1．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题． (1)正数的平方根不等于0； (2)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 解析　(1)原命题为“若a是正数，则a的平方根不等于0”； 逆命题为“若a的平方根不等于0，则a是正数”； 否命题为“若a不是正数，则a的平方根等于0”； 逆否命题为“若a的平方根等于0，则a不是正数”． (2)原命题为“若x＝2，则x2＋x－6＝0”； 逆命题为“若x2＋x－6＝0，则x＝2”； 否命题为“若x≠2，则x2＋x－6≠0”； 逆否命题为“若x2＋x－6≠0，则x≠2”． 题型二　四种命题的真假判断 　有下列四个命题： (1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题； (2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；[来源:学#科#网] (3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题； (4)“等边三角形有两边相等”的逆命题． 其中真命题的个数是 A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 【自主解答】　 (1) 真 原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，为真命题. (2) 假 原命题与其逆否命题具有相同的真假性，而原命题为假命题(如x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题. (3) 假 该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，很明显为假命题. (4) 假 该命题的逆命题是“有两边相等的三角形是等边三角形”，显然是假命题.[来源:学|科|