第一章 §1.1-§1.1.1 命题-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§1.1　命题及其关系 §1.1.1　命题 [课标要求] 1.了解命题的概念，并会判断命题的真假．(重点) 2．理解命题的构成形式，并能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点) [基础梳理] 命题及相关概念 1．定义：在数学中，用语言、符号或句子表达的，可以判断真假的陈述句． 2．分类 3．形式：命题“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论． [要点探究] 知识点一　命题的概念 阅读命题的概念并观察式子“x<3”，探究以下问题： 探究1：这个式子一定成立吗？ 提示　不一定成立．当x＝0时它成立，当x＝4时它不成立，随着x的变化而变化，有时成立，有时不成立． 探究2：语句“x<3”是命题吗？ 提示　不是命题．因为它不能判断真假． 探究3：以前我们学习了很多定理、推论，这些定理、推论是命题吗？ 提示　这些定理、推论是经过推理论证的正确结论，又是以陈述句的形式表述的，所以是命题． 知识点二　命题的分类 命题的分类真命题假命题 探究1：如何判断一个命题是假命题？ 提示　要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可． 探究2：公理是真命题吗？ 提示　公理是真命题，并且不需要证明． 知识点三　命题的结构形式 观察命题的基本结构形式“若p，则q”，探究以下问题： 探究1：如何确定命题“若p，则q”的条件和结论？ 提示　“若”后面是条件，“则”后面是结论． 探究2：一个命题写成“若p，则q”的形式后，如何判断命题的真假？ 提示　若由p经过逻辑推理可推出q，则该命题为真；若判断命题为假，只需举出一个反例即可. 题型一　命题的概念 　判断下列语句是否是命题． (1)一个等比数列的公比大于1时，该数列一定为递增数列； (2)求证：若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根； (3)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ (4)当x＝4时，2x＋1<0. 【自主解答】　(1)是命题． (2)不是命题，它是祈使句． (3)不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断． (4)是命题，能判断真假． ●规律总结 判断一个语句是否为命题的思路 1．下列语句： ①垂直于同一个平面的两条直线平行吗？ ②x，y都是无理数，则x＋y是无理数； ③请完成第九题； ④若直线l不在平面α内，则直线l与平面α平行． 其中是命题的是________． 解析　根据命题的定义逐个判断．①不是命题，因为它不是陈述句；②是命题，是假命题，例如－＋＝0,0不是无理数；③不是命题，因为它不是陈述句；④是命题，是假命题，直线l与平面α可以相交． 答案　②④ 题型二　命题的构成形式 　(1)当x＝2时，x2－3x＋2≠0.条件是：______，结论是：________. (2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论． ①等边三角形的三个内角相等； ②当a>0时，函数y＝ax＋b的值随着x的值的增加而增加． 【自主解答】　(1)条件是“x＝2”，结论是“x2－3x＋2≠0”． (2)①若一个三角形是等边三角形，则它的三个内角相等． 其中条件p：一个三角形是等边三角形，结论q：它的三个内角相等． ②当a>0时，若x的值增加，则函数y＝ax＋b的值也随之增加． 其中条件p：x的值增加(a>0)，结论q：函数y＝ax＋b的值也随之增加． 【答案】　(1)x＝2　x2－3x＋2≠0 (2)见自主解答 ●规律总结 1．将命题改写为“若p，则q”形式的方法及原则 2．命题改写中的注意点 若命题不是以“若p，则q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件p和结论q，进而再写成“若p，则q”的形式． 2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)周长相等的三角形面积相等； (2)当m>时，方程mx2－x＋1＝0无实根； (3)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. 解析　(1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等． (2)若m>，则方程mx2－x＋1＝0无实根． (3)若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0. 题型三　命题真假判断 　下列命题中为真命题的是 A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 B．能够找到一个x∈R，使得sin x＋cos x＝成立 C．若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0 D．若a<b，则> 【解析】　结合选项逐一判断．(1)对于A，当b＝0且a，c有一个为0时，a，b，c不是等比数列，故不正确；对于B，因为sin x＋cos x＝，所以1＋2sin xcos x＝，sin 2x＝∈[－1,1]，所以这样的x是存在的；对于C，a·b＝0，则a⊥b或a＝0或b＝0，故不正确；对于D，a，b的符号不定，故不正确，如a＝－1，b＝2，则>不成立． 【答案】　B ●规律总结 判断命题真假的策略 (1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依