第三章 §3.1-§3.1.1 空间向量及其加减运算-2020-2021学年高中数学选修2-1【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§3.1　空间向量及其运算 §3.1.1　空间向量及其加减运算 [课标要求] 1.了解向量的相关概念． 2．掌握空间向量的加法、减法运算法则及其运算律．(重点) 3．理解空间向量加减法的几何意义．(难点) [基础梳理] 1．空间向量的相关概念 定义 在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量． 长度 向量的大小叫做向量的长度或模． 表示法 几何表 示法 空间向量用有向线段表示． 字母表 示法 用一个字母表示，如下图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作，其模记为|a|或||. 几类特殊 向量 ①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0． ②单位向量：模为1的向量称为单位向量． ③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为－a． ④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 2.空间向量的加减法与运算律 空间向 量的加 减法 类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)： ＝＋＝a＋b； ＝－＝a－b． 加法运 算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). [要点探究] 知识点一　空间向量的相关概念 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图所示，设AB＝1. 探究1：向量与向量有何关系？向量与向量有何关系？ 提示　向量与向量相等，向量与是相反的向量． 探究2：有向线段AB就是向量，这种说法正确吗？ 提示　不正确．向量可以用有向线段来表示，但是有向线段不是向量，它是向量的一种表示方法． 探究3：教材中给出了两种特殊的向量：零向量和单位向量，这两种向量都是从其大小来定义的，它们有方向吗？ 提示　长度为0的向量叫做零向量，零向量的方向是不确定的，是任意的． 单位向量的大小为1，其方向是确定的，方向不同的单位向量是不同的单位向量． 探究4：与平面向量相比较，空间向量与平面向量有哪些共同特征？ 提示　空间向量与平面向量的共同特征就是具有大小与方向．[来源:学.科.网] 知识点二　空间向量的加法、减法运算 探究1：用语言概括向量加法、减法的三角形法则． 提示　加法：首尾顺次相接，由首指向尾． 减法：共起点，连终点，方向指被减． 探究2：首尾相接的若干个空间向量的和如何求？ 提示　首尾相接的若干个向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝. 题型一　空间向量的概念及其简单应用 　(1)下列说法中正确的是 A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反 B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ (2)如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中． ①单位向量共有多少个？ ②写出模为的所有向量． ③试写出的相反向量． 【自主解答】　(1)|a|＝|b|，说明a，b模相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有＋＝，只有在平行四边形中才能成立．故A、C、D均不正确． (2)①因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．②因为长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，. ③向量的相反向量为，，，，共4个． 【答案】　(1)B　(2)见自主解答 ●规律总结 处理向量概念问题的解题关键及注意点 (1)解题关键：判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)注意点： ①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件． ②向量的模与向量大小关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的． ③单位向量：方向虽然不一定相同，但长度一定为1. 1．给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝；③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；④在四边形ABCD中，必有＝.其中正确命题的序号是________． 解析　①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③|a|＝|b|，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有＝.综上可知，正确命题为①②. 答案　①② 题型二　空间向量的加法、减法运算 　(1)化简(－)－(－)＝________.