第一章 §1.3 第2课时 三角函数诱导公式五、六-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

第2课时　三角函数诱导公式五、六 [学习目标] 1.掌握诱导公式五、六的推导.(难点) 2.能够应用三角函数的诱导公式解决简单的求值、化简与证明问题.(重点) [教材梳理] 1.诱导公式五、六 2.公式的语言概括 (1)函数值：±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值. (2)符号：函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. (3)作用：利用诱导公式五或六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化. [要点探究] ►知识点一　诱导公式五、六 【探究】　探究以下问题，体会诱导公式五、六的推导过程 (1)角－α的终边与角α的终边有何关系？ (2)设角α终边上一点的坐标为(x，y)，则角α与角－α的正弦、余弦值各是什么？它们之间有什么关系？ (3)＋α与－α有什么内在联系？借此试推导cos＝－sin α. 提示　(1)角－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称，若设角α的终边上有一点P1(x，y)，则关于直线y＝x对称的角－α的终边上的点P2的坐标为(y，x). (2)由任意角的三角函数的定义知 sin α＝，cos α＝. sin＝，cos＝. 由三角函数值可以看出sin α＝cos，cos α＝sin. (3)＋α＝π－.所以cos＝cos ＝－cos＝－sin α. ►知识点二　诱导公式的推广与规律 【探究1】　sin＝________，cos＝________， sin＝________，cos＝________. 提示　－cos α　－sin α　－cos α　sin α 【探究2】　六组诱导公式的统一形式是什么？记忆口诀是什么？ 提示　六组诱导公式的统一形式为：k·±α(k∈Z) 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变.“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号. [来源:Zxxk.Com] 类型一　利用诱导公式化简求值(重点突破) [例1]　(链接教材P27例4)(1)已知sin＝，则cos＝________； (2)已知α是第三象限角，且f(α)＝. ①求f(α)；②若cos＝，求f(α). [自主解答]　(1)cos＝cos＝sin＝. (2)①f(α)＝ ＝＝－cos α. ②因为cos＝， 所以－sin α＝，又α是第三象限角， 所以cos α＝－＝－. 所以f(α)＝－cos α＝. [答案]　(1)　(2)①－cos α　② [母题变式] 若例1(1)的题设不变，如何求cos的值呢？ 解析　cos＝cos＝－sin＝－. ◆方法技巧 用诱导公式化简求值的三个角度 (1)角的变化：对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一. (2)切化弦：切化弦，以保证三角函数名最少. (3)函数名称：对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记前一套公式不变名，后一套公式变名. 提醒　抓住已知角与所求角之间的关系(如互余、互补等关系)，从而灵活运用诱导公式求解. [突破练1] 已知sin＝，则cos的值等于_________. 解析　cos＝cos＝－sin＝－. 答案　－ 类型二　三角恒等式的证明 [例2]　(1)求证：＝. (2)求证：＝－tan α. [自主解答]　(1)证明　右边＝[来源:学*科*网Z*X*X*K] ＝＝ ＝＝ ＝＝左边. 所以原等式成立. (2)证明　左边＝ ＝ ＝－＝－tan α＝右边. 所以原式成立. ◆方法技巧 三角恒等式证明策略 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简. (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子. (3)针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异. [突破练2] 求证：＋ ＝. 解析　左边＝＋ ＝＋＝ ＝＝＝右边. ∴原式成立. 类型三　诱导公式的综合应用 [例3]　已知cos α＝－，且α为第三象限角. (1)求sin α的值； (2)求f(α)＝的值. [自主解答]　(1)因为α为第三象限角， 所以sin α＝－＝－. (2)f(α)＝＝tan α·sin α[来源:学|科|网] ＝·sin α＝＝×＝－. [来源:学科网ZXXK] [母题变式1] 若例3条件不变，求f(α) ＝的值. 解析　f(α)＝＝sin α＝－. [母题变式2] 若本例3条件中“cos α＝－”改为“α的终边与单位圆交于点P”，“第三象限”改为“第二象限”，试求的值. 解析　由题意知m2＋＝1，解得m2＝，因为α为第二象限角，故m＜0，所以m＝－，所以sin α＝，cos α＝－. 原