第一章 §1.3 第1课时 三角函数的诱导公式二、三、四-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§1.3　三角函数的诱导公式 第1课时　三角函数的诱导公式二、三、四 [学习目标] 1.了解三角函数的诱导公式二、三、四的意义和作用. 2.理解诱导公式二、三、四的推导过程.(难点) 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.(重点、难点) [教材梳理] 诱导公式一～四 [点拨]　对公式一～四的理解. ①在角度制和弧度制下，公式都成立. ②公式中的角α可以是任意角，也可以是复角.如sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)，应用时要注意整体把握. ③对于正切函数而言，公式成立是以正切函数有意义为前提条件的. [要点探究] ►知识点　诱导公式二、三、四 【探究1】　观察α，π－α，π＋α，－α的终边思考下列问题. 根据上图，完成下面的填空. (1)π＋α与α的终边关于________对称；[来源:Zxxk.Com] (2)π－α与α的终边关于________对称； (3)－α与α的终边关于________对称. 提示　(1)原点　(2)y轴　(3)x轴 【探究2】　根据任意角三角函数的定义，并结合探究1的结论，探究下面的问题. (1)sin(π＋α)与sin α的值有何关系？cos(π＋α)与cos α呢？ (2)sin(－α)与sin α的三角函数值有何关系？cos(－α)与cos α呢？ (3)sin(π－α)与sin α的三角函数值有何关系？cos(π－α)与cos α呢？ 提示　(1)sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，因为π＋α与α的终边关于原点对称.由任意角的三角函数定义得sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α. (2)因为－α与α的终边关于x轴对称，所以由任意角的三角函数定义知sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. (3)因为π－α与α的终边关于y轴对称，所以由任意角的三角函数的定义知sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α. 类型一　给角求值问题 [例1]　(链接教材P24例1)(1)cos的值为________. (2)求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值. [自主解答]　(1)cos＝cos＝cos ＝cos＝－cos＝－. (2)sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135° ＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210°)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°) ＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45° ＝sin(180°＋45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°sin(180°＋30°)－tan 45° ＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45° ＝×－×－1＝. [答案]　(1)－　(2) ◆方法技巧 利用诱导公式解决给角求值问题的方法 (1)“负化正”； (2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角； (3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角； (4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值. [突破练1] (1)sin 585°的值为________. (2)求sin(－1 740°)·cos 1 470°＋cos 660°·sin 750°的值. 解析　(1)sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225° ＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－. (2)原式＝sin(60°－5×360°)·cos(30°＋4×360°)＋ cos(－60°＋2×360°)·sin(30°＋2×360°) ＝sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30° ＝×＋×＝1. 答案　(1)－　(2)1 类型二　给值(式)求值问题(重点突破) [例2]　(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于 A.　　　　　　　 B. C. D.－ (2)已知cos＝，求cos－sin2的值. [自主解答]　(1)sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m， 所以sin α＋cos α＝m，而sin(180°＋α)·cos(180°－α) ＝(－sin α)·(－cos α)＝sin αcos α ＝＝. (2)因为cos＝cos＝－cos＝－， sin2＝sin2＝1－cos2＝1－＝， 所以cos－sin2＝－－＝－. 答案　(1)A　(2)－ [母题变式1] 将例2(2)题中的“－”改为“＋”，“＋”改为“－”，其他不变，应如何解答？ 解析　由