第二章 §2.2-§2.2.2 向量减法运算及其几何意义-2020-2021学年高中数学必修4【导学教程】同步辅导（人教A版）word

§2.2.2　向量减法运算及其几何意义 [学习目标] 1.理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则.(难点) 2.掌握向量减法的几何意义.(重点) 3.能熟练地进行向量的加、减运算.(重点) [教材梳理] 1.相反向量 与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a. (1)规定：零向量的相反向量仍是零向量； (2)－(－a)＝a；[来源:Z*xx*k.Com] (3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0. [点拨]　相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量. 2.向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. (2)几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量. [来源:Z*xx*k.Com] [提醒]　在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可. [要点探究] ►知识点　向量减法运算及其几何意义 【探究1】　如图请结合向量减法的几何意义，回答下列问题. (1)在上图中，如何求作向量a－b? (2)点O，A，B为平面中的任意三点，则＝－对吗？ 提示　(1)将向量a与向量b平移，使它们的起点为O，作出向量＝a，＝b，则向量＝a－b. (2)对.因为当两个向量有共同的起点时，两向量的差是由减向量的终点指向被减向量的终点. 【探究2】　(1)已知不共线向量a，b，你能说明a＋b与a－b的几何意义分别是什么吗？ (2)求作向量a＋b与向量a－b的几何表示时有何区别？ 提示　(1)a＋b与a－b分别是以a、b为邻边的平行四边形两对角线所表示的向量. (2)向量的减法是加法的逆运算，求a＋b时，是将b的起点放在向量a的终点，然后连接向量a的起点与向量b的终点所得的向量；求a－b时，是把这两个向量的起点放在一起，它们的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量. 【探究3】　在向量运算中a＋b＝c＋d，是否有a－c＝d－b成立？ 提示　成立.a＋b＝c＋d的两边同时加上－b－c，再利用向量加法的运算律和相反向量的概念即可得到a－c＝d－b. 类型一　向量减法的几何意义(重点突破) [例1]　(链接教材P86例3)(1)如图1，＋－等于 A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 图1　　　　　　　图2 (2)如图2，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c. [自主解答]　(1)＋－＝－＝.故选B. (2)方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c. 方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c. [答案]　(1)B　(2)略 ◆方法技巧 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可. (2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量. [突破练1] 如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：b＋c－a. 解析　方法一　以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD， 则＝＋＝b＋c， ＝－＝b＋c－a. 方法二　作＝＝b， 连接AD，则＝－＝c－a， ＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a. 类型二　向量加减法的运算 [例2]　(1)如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且＝，则化简＋－－的结果为 A.0 B. C. D. (2)化简：(－)＋(－)＝________. (3)如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________. [自主解答]　(1)＋－－ ＝－＋－＝＋ ＝－＋＝0.故选A. (2)原式＝＋＋－＝＋－＝. (3)由已知＝，则＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b. [答案]　(1)A　(2)　(3)a＋c－b [母题变式1] 在例2(1)中试化简(＋)－(＋). 解析　因＝， 所以||＝||， 故||＝||，＋＝0， 原式＝(－)＋(－) ＝＋＝0. [母题变式2] 在例2(3)中，若＝d，试用b，c，d表示向量a. 解析　a＝b＋＝b＋＝b＋d－c＝b－c＋d. ◆方法技巧 1.向量加减法化简的两种形式 (1)首尾相连且为和. (2)起点相同且为差. 解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用. 2.与图形相关的向量运算化简 首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量的相等、平行等关系辅助化简运算. 类型三　向量减法的应用(难点突破) [例3]　(1)在四边形