第3章 2 独立性检验-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

§2　独立性检验 ●趣味导入[来源:Zxxk.Com] 饮用水的质量是人类普遍关心的问题，据统计，饮用优质水的518人中，身体状况优秀的有466人；饮用水质一般的312人中，身体状况优秀的有218人． 问：人的身体健康状况与饮用水的质量有关系吗？ ●学案导引 知识点 独立性检验的有关概念 理解 1.2×2列联表 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1和A2，A2＝1；变量B：B1和B2，B2＝1，用如下列联表表示抽样数据： B A B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 并将形如此表的表格称为2×2列联表．根据2×2列联表中的数据判断两个变量A，B是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．当－·大时，变量之间不独立． 2．统计量(χ2)的计算公式 χ2＝. 3．独立性判断的方法 当χ2≤2.706时，可以认为变量A，B没有关联； 当χ2＞2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联； 当χ2＞3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联； 当χ2＞6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联． ●思考探究 1．利用独立性检验来考察两个变量是否有关系的具体做法是怎样的？ 提示　(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0； (2)利用公式χ2＝，由观测数据计算得到随机变量χ2的观测值k； (3)如果k＞k0，就以(1－P(χ2≥k0))×100%的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据． 2．若设H0为两变量X与Y没有关系，P(χ2≥k)是H0成立的情况下该事件发生的概率，则P(χ2≥k)≈0.01表示的意义是什么？ 提示　P(χ2≥k)≈0.01说明在“两个分类变量没有关系”的前提下，出现χ2≥k这个情况的概率只有0.01.因此我们有99%的把握认为H0不成立，即有99%的把握认为“两个分类变量有关系”． 类型一　利用χ2的值进行无关独立性检验 [例1]　甲、乙两个班级进行同一项考试，按照学生的考试成绩做优秀和不优秀统计后，得到如下列联表： 考试[来源:学科网] 成绩 班级 优秀 不优秀 总计 甲班 10 35 45 乙班 7 38 45 总计 17 73 90 利用列联表进行独立性检验，判断考试成绩与班级是否有关？ [思路点拨]　独立性检验的关键是准确地计算χ2，要充分利用2×2列联表． [自主解答]　根据列联表有a＝10，b＝35，c＝7，d＝38，a＋b＝45，c＋d＝45，a＋c＝17，b＋d＝73，n＝90. χ2＝＝ ≈0.653，由于χ2≈0.653<2.706，所以没有充分证据判定成绩与班级有关系，故可以认为考试成绩与班级是无关的． [方法探究] 从本题可知，学习成绩主要取决于个人努力的结果，与所在班级的关系不大．所以同学们要从自身找原因，不要强调外界环境．利用公式计算χ2的值时，一定要计算准确． ●变式训练 1．为了探究学生选报文、理科是否与对外语的兴趣有关，某同学调查了361名高二在校学生，调查结果如下：理科对外语有兴趣的有138人，无兴趣的有98人，文科对外语有兴趣的有73人，无兴趣的有52人．能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”？ 解析　根据题目所给的数据得到如下列联表： 理科 文科 总计 有兴趣 138 73 211 无兴趣 98 52 150 总计 236 125 361 根据列联表中数据由公式计算得 χ2＝≈1.871×10－4. 因为1.871×10－4＜2.706， 所以，在犯错误的概率不超过0.1的前提下，不能认为“学生选报文、理科与对外语的兴趣有关”． 类型二　利用χ2的值进行有关独立性检验 [例2]　某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况进行了n＝1 700次观测，列联表如下： 有地震 无地震 水位有变化 98 902 水位无变化 82 618 观测结果是否说明地下水位的变化与地震的发生有关系？ [思路点拨]　判断两个分类变量是否相关，只需计算χ2的值，然后与临界值比较即可． [自主解答]　列联表： 有地震 无地震 总计 水位有变化 98 902 1 000 水位无变化 82 618 700 总计 180 1 520 1 700 χ2＝≈1.59＜2.706. 所以没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生相关． [方法探究] (1)这类问题的解决方法为先确定a，b，c，d，n的值并求出χ2的值，并与临界值相比较，注意正确运用公式，准确