第1章 5．2 二项式系数的性质-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大）word

5．2　二项式系数的性质 ●趣味导入 “杨辉三角”是我国古代数学重要的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡建立的二项式系数的三角形表示法．“杨辉三角”和勾股定理、圆周率的计算等中国古代数学成就都显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能． 那么，“杨辉三角”与二项式定理中的二项展开式有何关系呢？ ●学案导引 知识点 二项式系数的性质 了解 1.二项式系数表的规律：表中每行的两端都是1，且与这两个1等距离的系数相等，即C＝C.在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和．事实上，设表中任一不为1的数为C，那么它“肩上”的两个数分别为C和C，有C＝C＋C. 2．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 3．当r＜时，二项式系数是逐渐增大的；当r＞时，二项式系数是逐渐减小的，且呈对称性，从而可知二项式系数在中间取得最大值．若n为偶数，则中间一项的二项式系数Cn取得最大值；若n为奇数，则中间两项的二项式系数Cn和Cn相等，且同时取得最大值．[来源:学|科|网Z|X|X|K] 4．(a＋b)n的展开式的所有二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n；奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. ●思考探究 1．你能否根据“杨辉三角”中相应于n＝6的各二项式系数1,6,15,20,15,6,1写出相应于n＝7的各二项式系数吗？ 提示　根据杨辉三角中的规律，在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，所以n＝7的各二项式系数为1,7,21,35,35,21,7,1. 2．令f(k)＝C，k∈{0,1,2，…，n}，则直线k＝将函数f(k)的图像分成对称的两部分，即直线k＝是图像的对称轴，由此我们得到结论：当k＝时，C最大，这个结论正确吗？ 提示　不正确．当n是偶数时，Cn最大；当n是奇数时，Cn＝Cn最大． 类型一　与杨辉三角有关的问题 [例1]　如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则S16等于 A．144　　　　B．146 C．164　　　　　D．461 [思路点拨]　由题目可获取以下主要信息： (1)题目背景是杨辉三角； (2)所给数列为一锯齿形数列． 解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和． [自主解答]　由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，……，第15项是C，第16项是C. ∴S16＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C ＝(C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C) ＝(C＋C＋C＋…＋C－C)＋(C＋C＋…＋C) ＝C＋C－1＝164. [答案]　C [方法探究] 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来，使问题得解．注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察． ●变式训练[来源:学科网ZXXK] 1．如图所示，满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n行(n≥2)的第2个数是________． 1 2　　2 3　 4　 3 4 　7 　7 　4 5 　11　14 　11 　5 6　 16　 25 　25　16　6 … 解析　由图中数字规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝＋1. 答案　＋1 类型二　求展开式的各项系数和 [例2]　设(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6＋a7x7. 求：(1)a1＋a2＋…＋a7的值； (2)a1＋a3＋a5＋a7的值； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|的值． [思路导引]　(1)注意观察项没有a0.(2)注意式子变形再赋值．(3)注意去掉绝对值时的符号变化． [自主解答]　(1)当x＝1时，(1－2x)7＝(1－2)7＝－1，展开式右边为a0＋a1＋a2＋…＋a7， ∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， 当x＝0时，a0＝1， ∴a1＋a2＋…＋a7＝－1－1＝－2. (2)令x＝1，a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，　① 令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37，　② ①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝－1－37， ∴a1＋a3＋a5＋a7＝－. (3)由展开式知，a1，a3，a5，a7均为负，a0，a2，a4，a8均为正，由(2)中①＋②得，2(a0＋a2＋a4＋a6)＝－1＋37， ∴a0＋a2＋a4＋a6＝， |a0|＋|a1|＋…＋|a7| ＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a