第一章 §3-§3.1 第一课时 等比数列的概念及通项公式-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

§3　等比数列 §3.1　等比数列 第一课时　等比数列的概念及通项公式 [课标解读] 1．理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列．(难点) 2．掌握等比数列的通项公式，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系．(重点) 3．掌握等比中项的定义，能应用等比中项的定义解决问题． [教材梳理] 1．等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示． 2．等比数列的递推公式与通项公式 已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，填表： 递推公式 通项公式 ＝q(n≥2) an＝a1qn－1 3.等比中项 一般地，如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫作a与b的等比中项，即＝，所以G＝±． [要点探究] ►知识点一　等比数列的通项 [探究1]　观察等比数列的通项公式an＝a1qn－1，思考下面的问题： (1)公式中的q为什么不能为零？ 提示　根据等比数列的定义，公比为每一项与前一项的比，即：＝q，若q＝0，则an＝0，所以数列中每一项都为零，所以an－1＝0，这样比值无意义，所以q≠0. (2)要想确定等比数列的通项公式，需要具备几个条件？ 提示　由等比数列的通项公式an＝a1qn－1，要确定其通项公式，必须知道a1，q两个条件． [探究2]　根据等比数列的定义，你能推导出等比数列的通项公式吗？ 提示　由等比数列的定义， ＝q，＝q，＝q，…，＝q，…， 以上各式相乘可得an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)． ►知识点二　等比数列的判定 [探究1]　根据等比数列的定义，判断下面的数列是否为等比数列？ (1)1，3，32，33，…，3n－1，… 提示　记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…，由于＝＝3(n≥2，n∈N＋)，所以该数列为等比数列，公比为3. (2)－1，1，2，4，8，… 提示　记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，… 由于＝－1≠＝2， 所以此数列不是等比数列． (3)a，a2，a3，…，an，… 提示　当a＝0时，数列为0，0，0，…，是常数列，不是等比数列；当a≠0时，数列为a，a2，a3，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. [探究2]　在利用等比数列的定义判定一个数列为等比数列时应注意什么？ 提示　(1)根据等比数列的定义，要判断一个数列为等比数列需要注意：(1)＝q(n∈N＋)为常数． (2)数列中的每一项都不能为0.[来源:Z_xx_k.Com] 　在等比数列{an}中． (1)已知a2＝4，a5＝－，求an； (2)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n. 【尝试解答】　(1)解法一　设等比数列的公比为q，则 解得 ∴an＝a1qn－1＝(－8)＝. 解法二　设等比数列的公比为q，则＝q3， 即q3＝－，q＝－. ∴an＝a5qn－5＝·＝. (2)解法一　设等比数列的公比为q，则 解得∴a1＝＝128. ∵a1qn－1＝ ∴＝，得n＝9. 解法二　设等比数列{an}的公比为q. ∵a4＋a7＝a3q＋a6q＝(a3＋a6)q，∴q＝＝. ∵a4＋a7＝18，∴a4(1＋q3)＝18. ∴a4＝16，an＝a4·qn－4＝16·. 由16·＝，得n－4＝5，∴n＝9. ●方法技巧 1．求等比数列通项公式的方法 (1)方程组法：用a1，q表示出已知两项→联立方程组→解方程组，得出a1，q→写出通项公式． (2)通项公式变形法：观察已知两项是否有关系→用an＝am·qn－m(n，m∈N＋)来联系这两项→写出通项公式． 2．在等比数列通项公式an＝a1qn－1中，含有：首项a1，第n项an，公比q，项数n，在以上四个变量中，如果知道其中的三个，便可求出第四个． 3．在通项公式的有关计算中，要注意函数与方程及整体代换的思想的应用． 1．(1)(2018·北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 A.f　　　　　　　　 B.f C.f D.f (2)已知数列{an}为递增的等比数列，其中a2＝9，a1＋a3＝30.求数列{an}的通项公式． 解析　(1)由题意得，十三个单音的频率构成以第一个单音的频率f为首项，为公比的等比数列，所以第八个单音的频率为f·()7＝f，故选D.[来源:学。科。网Z。X。X。K] (2)设等比数列的公比为q，又由