第一章 §3-§3.1 第二课时 等比数列的性质及应用-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）word

第二课时　等比数列的性质及应用 [课标解读] 1．结合等差数列的性质，了解等比数列的性质及由来． 2．掌握等比数列的性质，并能综合应用解决有关问题．(重点、难点) [教材梳理] 1．等比数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1qn－1 (揭示首末两项的关系) an＝am·qn－m (揭示任意两项之间的关系) 2.等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)时，am·an＝a． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ ak·an－k＋1＝…. 3．等比数列的常用结论 (1)若{an}是公比为q的等比数列，则下列数列： ①{can}(c为任一不为零的常数)是公比为q的等比数列． ②{|an|}是公比为|q|的等比数列． ③{a}(m为常数，m∈N＋)是公比为qm的等比数列． (2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列． [要点探究] ►知识点一　等比数列的性质 [探究1]　已知等比数列{an}：1，2，4，8，16，…，2n－1，…， (1)计算a1a4＝________；a2a3＝________．并说明a1a4与a2a3有什么关系？它们的项数之间有什么关系？ 提示　a1a4＝8，a2a3＝8，所以a1a4＝a2a3；项数之和对应相等，即1＋4＝2＋3. (2)若项数满足4＋5＝2＋7，那么a4a5＝a2a7吗？ 提示　相等，a4＝23＝8，a5＝24＝16，a2＝2， a7＝26＝64，所以a4a5＝128＝a2a7. (3)若m＋n＝p＋l(m，n，p，l∈N＋)，那么aman＝apal吗？ 提示　相等，aman＝2m－1×2n－1＝2m＋n－2， apal＝2p－1×2l－1＝2p＋l－2.∵m＋n＝p＋l， ∴m＋n－2＝p＋l－2，∴aman＝apal. [探究2]　对任意的等比数列{an}，若有m＋n＝p＋l(m，n，p，l∈N＋)，那么aman＝apal吗？ 提示　相等，设等比数列{an}的公比为q，则am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ap＝a1qp－1，al＝a1ql－1，aman＝a1qm－1×a1qn－1＝aqm＋n－2；[来源:学§科§网Z§X§X§K] apal＝a1qp－1×a1ql－1＝aqp＋l－2. ∵m＋n＝p＋l，∴aman＝apal. [探究3]　对任意的等比数列{an}，若am·an＝ap·al(m，n，p，l∈N＋)，则m＋n＝p＋l吗？ 提示　不一定相等，当数列{an}为常数列时，m＋n与p＋l不一定相等． ►知识点二　等比数列性质的应用 [探究1]　由等比数列的通项公式和性质所能解决的主要问题是什么？ 提示　所能解决的问题主要是求等比数列的项和通项公式． [探究2]　如何利用等比数列的性质及相关公式求数列的项和通项公式？ 提示　思路一：根据题目所给的条件，列出方程组求出首项a1和公比q，进而解决相关问题； 思路二：根据性质利用项与项之间的关系求解. 　(1)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝ A．7　　　　B．5　　　　C．－5　　　　D．－7 (2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则a10＝________． 【尝试解答】　(1)∵数列{an}为等比数列， ∴a5a6＝a4a7＝－8，联立 解得或 ∴q3＝－或q3＝－2， 故a1＋a10＝＋a7·q3＝－7.选D. (2)由a4·a7＝－512，得a3·a8＝－512. 由[来源:学科网ZXXK] 解得a3＝－4，a8＝128或a3＝128， a8＝－4(舍)．∴q＝ ＝－2. ∴a10＝a3q7＝－4(－2)7＝512. ●方法技巧 解决等比数列问题常用的两种方法 1．基本量法：利用等比数列的基本量a1，q，先求出公比，然后求出其他量．这是等比数列常用的方法，其优点是思路简单、实用．缺点是计算较烦琐． 2．数列性质法：利用性质整体求值，简化运算过程，巧妙地利用性质m＋n＝p＋q⇒am·an＝ap·aq和an·am＝a(m＋n＝2p，m，n，p∈N＋)可以简化解题过程． 1．(1)在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝12，则a10＝________. (2)在等比数列{an}中，若a7＝－2，则此数列的前13项之积等于________． 解析　(1)解法一　设{an}的公比为q，则 解得q4＝6， ∴a10＝a1q9＝a1q·(q4)2＝2×36＝72. 解法二