福建省福州四校联盟2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题

答案第 1页，总 5页 福州四校联盟 20-21 下期中联考高一数学试卷 参考答案 1．B 2．C 3. B 4. A 5. D 6. D 7. B 8. C 9. AD 10. ACD 11. AC 12. ABD 13．解：复数 2 2 2 2 8 | 8 | 8 1 65| | 5 2 3 | 2 3 | 132 ( 3) i i i i            ， 14．解：向量 a与向量 b  夹角为 60，且 | | 1a  ， (3,4)b   ， | | 9 16 5b     ，  51 5 cos60 2 a b       ． 要使 2a b  与 a垂直，则 2 5(2 ) 2 2 0 2 a b a a a b               ， 求得 4 5    ， 15．解:     3a b c a b c ab     ， 2 2 2a b c ab   ，  2 2 2 cos 1 2 2 a b cC ab    ，由  0,C  可得 3 C  ， 又a bc2 ， sin sina A b C ，  1 1 1 sin sin 3sin 3 2 2 3 3 b a A C      . 16．解:由题意，三棱锥 P ABC 如图所示： 取BC的中点E，连接 AE、 PE， 由正三角形的性质可得 ABC 的中心O在线段 AE上，且 1 3 1 3 3 OE AE CE   ， 连接 PO，则 PO即为该三棱锥的高，即 3PO  ， 所以 2 2 2PE OE PO   ， 又PB PC ，所以 PE BC ， 所以 1 2 3 2PBC S BC PE  △ ， 答案第 2页，总 5页 又 1 3 3 2ABC S BC AE  △ ， 所以三棱锥的表面积 3 3 3 3 2 3 9 3ABC PBCS S S     △ △ ； 所以该三棱锥的体积 1 1 1 3 3 3 3 3 3ABC V S PO     △ , 当球与三棱锥 P ABC 内切时，体积最大， 设三棱锥 P ABC 的内切球的半径为 R， 则  1 1 13 9 3 3 3 3ABC PBC V S S R R      △ △ ，解得 3 3 R  ， 则 3 3 max 4 4 3 4 3 3 3 3 27 V R             . 17.【答案】（1） 2 3 B  ；（2）1． 【解析】（1）若选①：因为 cos cos 0 2 BB   ，所以 22cos 1 cos 0 2 2 B B    ， 解得 1cos 2 2 B  或 cos 1 2 B   （舍去）， 所以 2 1cos 2cos 1 2 2 BB     ，又 (0, )B  ，所以 2 3 B  ； 若选②：由正弦定理角化边可得 2 2 2 0a b c ac    ， 所以 2 2 2 1cos 2 2 2 a c b acB ac ac        ．又 (0, )B  ，所以 2 3 B  ； 若选③：由正弦定理边化角可得 sin cos (2sin sin ) cos 0B C A C B   ， 所以 sin cos sin cos 2sin cosB C C B A B   ， 所以 sin( ) 2sin cosB C A B   ， 又 sin( ) sin( ) sinB C A A    ，所以 sin 2sin cosA A B  ， 因为 (0, )A  ，所以 sin 0A  ， 所以 1cos 2 B   ，又 (0, )B  ，所以 2 3 B  ； （2）由（1）及余弦定理可知 2 2 2 2 cosa c b ac B  ， 所以 2 2 2a c b ac    ，由基本不等式得 2 2 2 22a c b ac ac b      ， 所以 2 3 bac  ，当且仅当 a c 时等号成立， 答案第 3页，总 5页 所以 2 1 3 3sin 2 4 12ABC S ac B ac b  △ ， 又 ABC 的面积的最大值为 3 12 ，所以 1b  ． 18．（1）1；（2） 1 ,1 2 m       ， 3 5| | 5m