安徽省“五校联盟”2021届高三下学期4月第二次联考数学（理科）试题及答案

书书书 【理科数学试题参考答案　第１　　　　页（共４页）】 颍上一中　涡阳一中　蒙城一中　淮南一中　怀远一中 ２０２１届高三“五校联盟”第二次联考·理科数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ 二、填空题 １３．－１　１４．－６７２　１５． ５ ３ 　１６． １１２π ３ 详解： １２．Ｂ　∵ω＞０，当狓∈ ０，［ ］π 时，ω狓－ ２π ３ ∈ － ２π ３ ，πω－ ２π［ ］ ３ ． 设ω狓－ ２π ３ ＝狋进行替换，作出函数狔＝ｃｏｓ狋的图象如下图所示： 由于函数狔＝犳（狓）在 ０，［ ］π 上满足犳 狓（ ）３ ＝０的实数狓３有且只有３个， 即函数狔＝ｃｏｓ狋在 － ２π ３ ，πω－ ２π［ ］ ３ 上有且只有３个零点， 由图象可知３π ２ ≤πω－ ２π ３ ＜ ５π ２ ，解得１３ ６ ≤ω＜ １９ ６ ，结论④不正确； 由图象知，狔＝ｃｏｓ狋在 － ２π ３ ，πω－ ２π［ ］ ３ 上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误； 当狓∈ ０， π（ ） １０ 时，ω狓－ ２π ３ ∈ － ２π ３ ，πω １０ － ２π（ ） ３ ， 由１３ ６ ≤ω＜ １９ ６ 知πω １０ － ２π ３ ＜－ ７π ２０ ＜０，所以狔＝ｃｏｓ狋在 － ２π ３ ，πω １０ － ２π（ ） ３ 上递增， 则函数狔＝犳（狓）在 ０， π（ ） １０ 上单调递增，结论③正确．综上，正确的有①③．故选Ｂ． １６．将△犃犅犇沿犅犇折起后，取犅犇中点为犈，连接犃犈，犆犈，则犃犈⊥犅犇，犆犈⊥犅犇， 所以∠犃犈犆即为二面角犃－犅犇－犆的平面角，所以∠犃犈犆＝１２０°； △犃犅犇与△犅犆犇是边长为的等边三角形． 分别记三角形△犃犅犇与△犅犆犇的重心为犌、犉，则犈犌＝ １ ３ 犈犃＝ 槡２３ ３ ，犈犉＝ １ ３ 犈犆＝ 槡２３ ３ ；即犈犉＝犈犌； 因为△犃犅犇与△犅犆犇都是边长为４的等边三角形， 所以点犌是△犃犅犇的外心，点犉是△犅犆犇的外心； 记该几何体犃犅犆犇的外接球球心为犗，连接犗犉，犗犌， 根据球的性质，可得犗犉⊥平面犅犆犇，犗犌⊥平面犃犅犇， 所以△犗犌犈与△犗犉犈都是直角三角形，且犗犈为公共边， 【理科数学试题参考答案　第２　　　　页（共４页）】 所以Ｒｔ△犗犌犈与Ｒｔ△犗犉犈全等，因此∠犗犈犌＝∠犗犈犉＝ １ ２ ∠犃犈犆＝６０°， 所以犗犈＝ 槡４３ ３ ； 因为犃犈⊥犅犇，犆犈⊥犅犇，犃犈∩犆犈＝犈，且犃犈平面犃犈犆，犆犈平面犃犈犆， 所以犅犇⊥平面犃犈犆； 又犗犈平面犃犈犆，所以犅犇⊥犗犈， 连接犗犅，则外接球半径犗犅＝ 犗犈２＋犅犈槡 ２＝ 槡２ ２１ ３ ， 所以外接球表面积为１１２π ３ ． 故答案为：１１２π ３ 三、解答题 １７．解：由犛狀＝２犪狀－１　①， 当狀＝１时犛１＝２犪１－１，解得犪１＝１， 当狀≥２时，犛狀－１＝２犪狀－１－１　②， ①－②得犪狀＝２犪狀－１，所以犪狀是等比数列，犪狀＝２狀－１， ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 由｛犫狀｝是等差数列，犫２＋犫６＝犪４，犪５－犫４＝２犫６．得犫狀＝狀 ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）犛狀＝２狀－１，犜狀＝２狀＋１－狀－２， ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 犮狀＝（－１）狀 （犜狀＋犫狀＋２）犫３狀＋４ 犫狀＋１犫狀＋２ ＝（－１）狀 （３狀＋４）２狀＋１ （狀＋１）（狀＋２） ＝（－１）狀（ ２狀＋１ 狀＋１ ＋ ２狀＋２ 狀＋２ ），犇狀＝－２＋（－１）狀 ２狀＋２ 狀＋２ ． １２分!!!! １８．（１）证明：因为犆犇⊥面犃犅犆，犅犕面犃犅犆，所以犆犇⊥犅犕 又∵正△犃犅犆中，犃犕＝犕犆犅犕⊥犃犆 ２分!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ 犅犕⊥犆犇 犅犕⊥犃犆 犆犇∩犃犆＝ 烍 烌 烎犆 犅犕⊥面犃犆犇 ∴犅犕⊥犃犖 ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）解：连接犕犇交犃犖 于犌点，连接犘犌，因为犅犕∥平面犃犘犖 所以犅犕∥犘犌，由重心性质知犘为靠近犅点的三等分点． ７分!!!!!!!!!! ∴犆 ０，０，（ ）０ ，犃 ０， ３ ２ ，槡３３（ ） ２ ，犅 ０，３，（ ）０ ，犘 １，２，（ ）０ ，犖 ３ ２ ，０，（ ）０ 设面犃犘犖的法向量为狀＝（狓，狔，狕）， → 犃犘·狀＝０， → 犃犖·狀＝０，∴狀＝ ４，１，槡（ ）３ 平面犃犅犆的法向量为狌＝ １，０，（ ）０ ，ｃｏｓ〈狌 →，狏〉＝ 槡 ２５ ５ ， １１分!!!!!!!!