8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

8.3　简单几何体的表面积与体积 【知识点一】空间几何体的表面积 一般地，我们可以把多面体展开成平面图形，求出展开图中各个小多边形的面积，然后相加即为多面体的表面积． 1.直棱柱和正棱锥的表面积 (1)直棱柱的侧面积 ①侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱． ②直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于直棱柱的高h，因此，直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝ch. ③底面为正多边形的直棱柱叫做正棱柱． (2)正棱锥的侧面积 ①如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥．正棱锥的侧棱长都相等． ②棱锥的侧面展开图是由各个侧面组成的，展开图的面积就是棱锥的侧面积．如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h′，它的侧面积是S正棱锥侧＝ch′. 2.正棱台的表面积 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做正棱台．与正棱锥的侧面积公式类似，若设正棱台的上、下底面的周长分别为c′，c，斜高为h′，则其侧面积是S正棱台侧＝(c＋c′)h′. 3.圆柱、圆锥、圆台的表面积 【推导圆柱侧面积及表面积】S侧＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)． 【推导圆锥侧面积及表面积】底面周长是2πr，利用扇形面积公式得 S侧＝×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)． 【推导圆台侧面积及表面积】由题图知，圆台的侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，则＝，解得x＝l. S扇环＝S大扇形－S小扇形＝(x＋l)×2πR－x×2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l， 所以S圆台侧＝π(r＋R)l，S圆台表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)． 图形 表面积公式 旋转体 圆柱 底面积：S底＝2πr2， 侧面积：S侧＝2πrl， 表面积：S＝2πr(r＋l) 圆锥 底面积：S底＝πr2， 侧面积：S侧＝πrl， 表面积：S＝πr(r＋l) 圆台 上底面面积：S上底＝πr′2， 下底面面积：S下底＝πr2， 侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)， 表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 【知识点21】空间几何体的体积 一、柱体、锥体、台体的体积公式 1．柱体的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)． 2．锥体的